Espérance, Variance et Écart-type
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- Calculer une espérance, une variance et un écart-type.
Soit Ω l’univers, X une variable définie
sur Ω,
Soient a1 ;
a2 ;
… ; an les
valeurs prises par X et
P1 ; P2 ; … ; Pn
les probabilités associées aux
événements « X = a1 »
; « X = a2 »
; … ; « X = an ».
-
L’espérance de X se calcule de la façon
suivante :
-
La variance de X se calcule de la
façon suivante :
-
L’écart-type de X se calcule de la
façon suivante :
- Variable aléatoire et loi de probabilité
Plaçons 6 boules indiscernables dans une
urne. Parmi elle, il y a une boule rouge, 2 boules
bleues et 3 boules noires. On tire une boule au
hasard.
Si la boule tirée est rouge, nous gagnons
3 €.
Si la boule tirée est bleue, nous gagnons
2 €.
Si la boule tirée est noire, nous perdons
1 €.
Avant de jouer à un jeu d’argent, il est légitime pour le joueur de déterminer si le jeu va être profitable pour lui sur le long terme, c’est à dire s'il va gagner de l’argent en jouant un très grand nombre de fois.
On note X la
variable aléatoire à laquelle on associe
le gain ou la perte (on appelle cela le gain
algébrique).
Définissons sa loi de probabilité (nous
laissons volontairement les probabilités sous le
même dénominateur) :
| ai | –1 | 2 | 3 |
| P(X = ai) |
|
|
|
Ω est l’univers de notre expérience aléatoire. Soit X une variable définie sur Ω et a1 ; a2 ; … ; an des nombres réels qui représentent toutes les valeurs prises par X et enfin : P1 ; P2 ; … ; Pn les probabilités associées aux événements « X = a1 » ; « X = a2 » ; … ; « X = an».
La loi de probabilité de X se résume comme ceci :
| ai | –1 | 2 | 3 |
| P(X = ai) |
|
|
|
Le signe
signifie la somme de
« i = 0 »
à « i = n ».Par exemple :
L’espérance peut s’interpréter comme la valeur moyenne prise par X lors de notre expérience aléatoire.
Dans notre expérience, on a :
L’espérance du jeu est de
. Elle est donc positive. Cela
signifie que le jeu est gagnant pour le joueur, qui
gagnera en moyenne 
€ par partie.
Il existe une autre formule pour calculer la variance. Cela s’appelle le théorème de König-Huygens :
V(X) = E(X²) – E(X)²
La variance nous permet d’avoir une idée de la dispersion des résultats. Plus la variance est grande, plus les résultats risquent d’être éloignés de l’espérance attendue.
Dans notre expérience de la première partie, on a vu que E(X) =
.V(X) =
V(X) =
V(X) =
V(X) =
V(X) =
La variance est égale à 3.
(la lettre grecque sigma) est
défini par :
L’écart-type, à l’instar de la variance, est un critère de dispersion des résultats.
Dans notre expérience, on vient de voir que V(X) = 3.
L’écart type est égal à
.
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