Lycée   >   Premiere   >   Mathématiques   >   Espérance, Variance et Écart-type

Espérance, Variance et Écart-type

  • Fiche de cours
  • Quiz
  • Profs en ligne
Objectif
  • Calculer une espérance, une variance et un écart-type.
Points clés

Soit Ω l’univers, X une variable définie sur Ω,
Soient a1 ; a2 ; … ; an les valeurs prises par X et
P1 ; P2 ; … ; Pn les probabilités associées aux événements « X = a1 » ; « X = a2 » ; … ; « X = an ».

  • L’espérance de X se calcule de la façon suivante :

     
  • La variance de X se calcule de la façon suivante :

           
     
  • L’écart-type de X se calcule de la façon suivante :
Pour bien comprendre
  • Variable aléatoire et loi de probabilité
1. L'espérance
a. Mise en situation

Plaçons 6 boules indiscernables dans une urne. Parmi elle, il y a une boule rouge, 2 boules bleues et 3 boules noires. On tire une boule au hasard.
Si la boule tirée est rouge, nous gagnons 3 €.
Si la boule tirée est bleue, nous gagnons 2 €.
Si la boule tirée est noire, nous perdons 1 €.

Avant de jouer à un jeu d’argent, il est légitime pour le joueur de déterminer si le jeu va être profitable pour lui sur le long terme, c’est à dire s'il va gagner de l’argent en jouant un très grand nombre de fois.

On note X la variable aléatoire à laquelle on associe le gain ou la perte (on appelle cela le gain algébrique).
Définissons sa loi de probabilité (nous laissons volontairement les probabilités sous le même dénominateur) :

ai –1 2 3
P(X = ai)
b. Définition

Ω est l’univers de notre expérience aléatoire. Soit X une variable définie sur Ω et a1 ; a2 ; … ; an des nombres réels qui représentent toutes les valeurs prises par X et enfin : P1 ; P2 ; … ; Pn les probabilités associées aux événements « X = a1 » ; « X = a2 » ; … ; « X = an».

La loi de probabilité de X se résume comme ceci :

ai –1 2 3
P(X = ai)
On appelle l’espérance, notée E(X), le nombre réel défini par :
Remarque
Le signe signifie la somme de « i = 0 » à « i = n ».
Par exemple :

L’espérance peut s’interpréter comme la valeur moyenne prise par X lors de notre expérience aléatoire.

Exemple
Dans notre expérience, on a :

L’espérance du jeu est de . Elle est donc positive. Cela signifie que le jeu est gagnant pour le joueur, qui gagnera en moyenne € par partie.
2. Variance et écart-type
a. Variance
La variance, notée V(X) est un nombre réel défini par :
        
Remarque
Il existe une autre formule pour calculer la variance. Cela s’appelle le théorème de König-Huygens :

V(X) = E(X²) – E(X)²

La variance nous permet d’avoir une idée de la dispersion des résultats. Plus la variance est grande, plus les résultats risquent d’être éloignés de l’espérance attendue.

Exemple
Dans notre expérience de la première partie, on a vu que E(X) = .
V(X) =
V(X) =
V(X) =
V(X) =
V(X) = 
La variance est égale à 3.
b. Écart-type
L’écart-type, noté (la lettre grecque sigma) est défini par :

L’écart-type, à l’instar de la variance, est un critère de dispersion des résultats.

Exemple
Dans notre expérience, on vient de voir que V(X) = 3.

L’écart type est égal à .

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !

Recevez l'intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés :

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Pour en savoir plus sur la gestion de vos données personnelles et pour exercer vos droits, vous pouvez consulter notre charte.

Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer

Consultez votre boite email, vous y trouverez vos résultats de quiz!

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

Les suites arithmétiques- Première- Mathématiques

Mathématiques

Définitions et notations ensemblistes- Première- Mathématiques

Mathématiques

Factoriser : quelle méthode choisir ?

Mathématiques

Factoriser grâce aux racines évidentes- Première- Mathématiques

Mathématiques

Factoriser à l'aide du discriminant

Mathématiques

Utiliser les différentes formes d'un polynôme du second degré

Mathématiques

Étude de la fonction valeur absolue et de sa dérivation

Mathématiques

La fonction exponentielle : définition et propriétés

Mathématiques

La fonction exponentielle : variation et représentation

Mathématiques

La fonction exponentielle et les suites géométriques