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Forme factorisée, racines et signe d'une fonction polynôme de degré 2

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Objectifs
  • Savoir ce qu’est une racine d’une fonction polynôme.
  • Connaitre la forme factorisée d’un polynôme.
  • Savoir étudier le signe d’un polynôme du second degré.
Points clés
  • Une racine d’un polynôme est une valeur de qui annule le polynôme.
  • Un polynôme du second degré admettant deux racines distinctes peut s’écrire sous la forme factorisée .
  • Pour étudier le signe d’un polynôme, on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines éventuelles. Le polynôme change de signe entre ses racines.
Pour bien comprendre
  • Connaitre la fonction de référence
  • Savoir ce qu’est la solution d’une équation
  • Savoir développer une expression du second degré
  • Savoir ce qu’est le tableau de signe d’une fonction
1. Fonction polynôme de degré deux
a. Définition
Une fonction  définie sur  par une expression réduite du type avec  réels et  est appelée fonction polynôme de degré deux.
Exemples
est l’expression d’une fonction polynôme de degré deux.
n’en est pas une (pas de terme en ).
b. Représentation graphique

La courbe représentative d’une fonction polynôme définie par   est une parabole dont le sens dépend du signe du nombre , coefficient de .

Exemples
Si , en vert, la parabole est tournée vers le haut.
Si , en bleu, la parabole est tournée vers le bas.

2. Racine d'une fonction polynôme
a. Notion de racine
On dit qu’un réel   est racine d’une fonction polynôme d’expression lorsqu’on a , c’est à dire lorsque .
Exemple : 3 est une racine de  avec  car .
b. Nombre de racines

Une fonction polynôme peut admettre sur , 0, 1 ou 2 racines suivant les valeurs de , et .

Exemples
définie par  admet 2 racines distinctes : –2 et 3.
définie par  admet 1 seule racine : 4.
c. Lien avec la représentation graphique

Les racines d’une fonction polynôme de degré 2 correspondent aux abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.

Exemples
En vert, possède 2 racines : 0 et 4.
En bleu, possède 1 racine : –2.
En orange, ne possède aucune racine.

3. Forme factorisée d'une fonction polynôme
a. Cas d'une fonction polynôme admettant deux racines distinctes
Lorsqu’une fonction polynôme  d’expression admet 2 racines  et , alors son expression factorisée est .
Exemples
Si avec comme racines –2 et 3, alors .
Si avec comme racine double 4, alors .
Si avec commes racines –2 et 3, alors .
b. Cas d'une fonction polynôme admettant une seule racine

Lorsqu’une fonction polynôme  d’expression admet 1 racine , alors son expression factorisée est .

4. Signe d'une fonction polynôme

Une fonction polynôme de degré deux d’expression change de signe entre ses racines  et .

Il existe 2 possibilités en fonction du signe de  :

Si  :

Si  :

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