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Forme factorisée, racines et signe d'une fonction polynôme de degré 2
Forme factorisée, racines et signe d'une fonction polynôme de degré 2
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Objectifs
Savoir ce qu’est une racine d’une fonction
polynôme.
Connaitre la forme factorisée d’un
polynôme.
Savoir étudier le signe d’un
polynôme du second degré.
Points clés
Une racine d’un polynôme est une valeur de
qui annule le polynôme.
Un polynôme du second degré admettant deux
racines distinctes peut s’écrire sous la forme
factorisée .
Pour étudier le signe d’un polynôme,
on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines
éventuelles. Le polynôme change de signe entre
ses racines.
Pour bien comprendre
Connaitre la fonction de référence
Savoir ce qu’est la solution d’une
équation
Savoir développer une expression du second
degré
Savoir ce qu’est le tableau de signe d’une
fonction
1. Fonction polynôme de degré deux
a. Définition
Une fonction
définie
sur
par une expression réduite
du type
avec
,
,
réels et
est appelée fonction
polynôme de degré deux.
Exemples
est l’expression
d’une fonction polynôme de degré
deux.
n’en est pas une (pas de
terme en
).
b. Représentation graphique
La courbe représentative d’une fonction
polynôme définie par est une parabole
dont le sens dépend du signe du nombre
, coefficient de .
Exemples
Si
, en vert, la parabole est
tournée vers le haut.
Si
, en bleu, la parabole est
tournée vers le bas.
2. Racine d'une fonction polynôme
a. Notion de racine
On dit qu’un réel
est
racine
d’une fonction polynôme
d’expression
lorsqu’on a
, c’est à dire
lorsque
.
Exemple : 3 est une racine
de
avec
car
.
b. Nombre de racines
Une fonction polynôme peut admettre
sur , 0, 1 ou 2 racines
suivant les valeurs de , et .
Exemples
définie
par
admet 2 racines distinctes :
–2 et 3.
définie
par
admet 1 seule racine : 4.
c. Lien avec la représentation graphique
Les racines d’une fonction polynôme de
degré 2 correspondent aux abscisses des
points où la parabole coupe l’axe des
abscisses .
Exemples
En vert,
possède
2 racines : 0 et 4.
En bleu,
possède
1 racine : –2.
En orange,
ne possède aucune
racine.
3. Forme factorisée d'une fonction polynôme
a. Cas d'une fonction polynôme admettant deux
racines distinctes
Lorsqu’une fonction
polynôme
d’expression
admet
2 racines
et
, alors son expression
factorisée est
.
Exemples
Si
avec comme racines –2 et
3, alors
.
Si
avec comme racine double 4,
alors
.
Si
avec commes
racines –2 et 3, alors
.
b. Cas d'une fonction polynôme admettant une
seule racine
4. Signe d'une fonction polynôme
Une fonction polynôme de degré deux
d’expression change de signe entre ses
racines et .
Il existe 2 possibilités en fonction du signe
de :
Si :
Si :
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