Le mouvement des planètes et les lois de Kepler - Maxicours

Le mouvement des planètes et les lois de Kepler

Objectifs
• Présenter les trois lois de Kepler.
• Donner des exemples illustrant ces lois, notamment dans le cas particulier d’orbites circulaires.
• Insister sur la portée des lois de Kepler, en particulier en ce qui concerne la troisième.
Dans l’Histoire des Sciences, le mouvement des corps célestes a constitué une énigme qui a longtemps passionné les scientifiques. Après certains errements (vision d’une Terre plate, géocentrisme –Terre au centre de l’Univers, autour de laquelle tournent les autres planètes–, etc.), ils sont progressivement arrivés au modèle que l’on connaît aujourd’hui.
La Terre tourne autour du Soleil (héliocentrisme), tout comme les autres planètes du système solaire. Le Soleil est situé à la périphérie de notre galaxie, la Voie Lactée, elle-même n’étant qu’une galaxie parmi d’autres.


Pour en arriver là, on peut citer les avancées permises notamment par Nicolas Copernic (1473–1543) qui posa les bases du modèle héliocentrique, Galilée (1564–1642), Tycho Brahe (1546–1601), Johannes Kepler (1571–1630), etc.

Johannes Kepler était un astronome dont les travaux ont permis d'établir les trois lois qui portent son nom. Ces lois, étudiées dans cette fiche, sont particulièrement intéressantes de par leur lien avec les mathématiques (ellipses) et les possibilités offertes par la 3ème loi.

Ces lois avaient initialement pour vocation commune de décrire le mouvement des planètes autour du Soleil. Toutefois, elles peuvent être étendues aux comètes, ainsi qu’à tout satellite du Soleil (astéroïdes, etc.). La contrainte est que la masse m du corps étudié soit négligeable devant celle du Soleil, ce qui est correct pour tout corps du système solaire, y compris Jupiter.
Ces lois sont à utiliser dans le référentiel héliocentrique. On rappelle que ce référentiel est associé à un repère centré sur le centre de masse du Soleil et dont les axes pointent vers trois étoiles lointaines, supposées fixes par rapport au Soleil. Ce référentiel est considéré comme galiléen.
1. Première loi de Kepler
a. Énoncé de la première loi de Kepler
Énoncée en 1609, la première loi de Kepler explique que dans le référentiel héliocentrique, les trajectoires des planètes sont des ellipses dont le centre du Soleil est l’un des foyers.
L’autre foyer ne représente rien physiquement.

Dans la pratique, les orbites des planètes du système solaire sont des ellipses qui ressemblent beaucoup à des cercles. La première loi de Kepler est également applicable aux comètes. Dans ce cas, par contre, les orbites observées sont très « étirées ».

Historiquement, utiliser des ellipses n’était pas anodin, car les savants de l’époque avaient une vision d’objets célestes « parfaits », donc devant selon eux parcourir des orbites « parfaites », c'est-à-dire des cercles.
b. Définition d'une ellipse
Soit deux points F et F' appartenant à un plan P.
Une ellipse désigne l'ensemble des points M du plan tels que FM + MF' = constante.
F et F' sont les foyers de l'ellipse. Le centre O de l'ellipse est situé au milieu du segment [FF'].


On définit alors deux axes passant par O : l'un passant par F et F', et l'autre perpendiculaire au premier.
Les longueurs OA et OC sont égales, et sont notées a, qui est le demi-grand axe de l'ellipse. Par exemple, le demi-grand axe de l'orbite terrestre est voisin de 149,6 millions de kilomètres.
De même OB = OD = b, le demi-petit axe. On a > b.

Pour les corps en orbite du Soleil (lequel est placé par exemple en F), on appelle aphélie la position de l’orbite pour laquelle la distance entre le Soleil et le corps étudié est maximale, ce qui correspond ici au point A, donc à la distance FA.
De la même manière, le périhélie (point C si le Soleil est en F) est la position de l’orbite telle que cette distance soit minimale (distance FC).

Remarque : ne pas confondre périhélie et aphélie avec périgée et apogée, qui sont les termes équivalents pour des satellites de la Terre (voir « Mouvement d’un satellite de la Terre »).

Un cercle est une ellipse particulière pour laquelle les deux foyers F et F' sont confondus et situés en O. Dans ce cas, on a a = b, et la relation FM + MF' = cste devient OM = R, où R est le rayon du cercle.
On dit que l’excentricité d’un cercle est nulle. À l’opposé, quand les foyers sont très éloignés l’un de l’autre, alors l’ellipse est très « étirée ». On dit que son excentricité est forte.

Remarque (non exigible) : l’excentricité e d’une ellipse est un nombre tel que 0 ≤ e < 1, qui est obtenue par la relation . On a e = 0 pour un cercle. L’excentricité de l’orbite d’une planète est faible. On a par exemple e ≈ 0,068 pour Vénus, e ≈ 0,017 pour la Terre, e ≈ 0,21 pour Mercure. Au contraire, celle d’une comète est forte (proche de 1) : e ≈ 0,967 pour la comète de Halley.
2. Deuxième loi de Kepler : loi des aires
Le segment qui relie le centre du Soleil au centre d'une planète en mouvement balaie, pendant un temps Δt, une portion qui reste d'aire constante, quelle que soit la position de la planète.
Cette loi est aussi appelée la loi des aires.


 
Sur le schéma ci-dessus, on a représenté l'aire balayée pour deux positions distinctes, mais dans un même laps de temps Δt. La 2ème loi de Kepler se traduit par l'égalité des aires rose et verte.

Dans le cas d'une planète évoluant sur une orbite circulaire (ou considérée comme telle), la loi des aires implique que la distance ΔD parcourue par la planète sur son orbite est constante pendant un temps Δt, où qu'elle soit sur l'orbite.


Cela veut dire que la valeur de la vitesse orbitale est constante. En conséquence, quand une orbite est circulaire, le mouvement orbital est uniforme.
Dans ce cas, on écrit que , où la valeur v de la vitesse orbitale est en m.s–1, le rayon orbital R est en m et la période de révolution T (temps requis pour effectuer une orbite complète) est en s.
Par exemple, la période de révolution de la Terre vaut environ 365,25 journées terrestres de 24 heures, pour une vitesse orbitale moyenne de 29,8 km.s–1.

Par contre, dans le cas d’une orbite de forte excentricité, comme celle d’une comète, on peut déduire de cette loi que le corps étudié parcourt une distance plus grande (pendant un même temps) quand il est plus proche du Soleil que quand il en est éloigné. En conclusion, la loi des aires appliquée à une orbite elliptique implique que la vitesse orbitale varie le long de l’orbite : elle est maximale au périhélie, minimale à l’aphélie.
3. Troisième loi de Kepler : loi des périodes
Cette dernière loi établit la relation entre deux grandeurs caractéristiques du mouvement d'une planète : sa période de révolution T, et le demi-grand axe a de son orbite. La 3ème loi de Kepler indique que est une constante, qui est indépendante de la masse de la planète, et qui est la même pour toute planète en orbite autour du Soleil.

Historiquement, cette loi a été publiée en 1618, et porte aussi le nom de loi harmonique de Kepler, car elle établit une relation entre les orbites des différentes planètes du système solaire.
En fait, la constante fait intervenir la masse du soleil Ms ; l’expression complète de la loi est :
La période de révolution T est en s, le demi-grand axe a de l’ellipse est en m, G est la constante de gravitation universelle (avec G ≈ 6,67.10–11 m3.kg–1.s–2) et Ms est la masse du Soleil (Ms ≈ 1,99.1030 kg).
La 3ème loi de Kepler est également applicable aux comètes, ou autres corps de masse m en orbite autour du Soleil, du moment que .

Dans le cas particulier d’une orbite circulaire (ou considérée comme telle), on remplace simplement a par le rayon orbital R.
4. Portée des lois de Kepler
Les lois de Kepler ont permis des avancées dans la compréhension du mouvement des planètes et des comètes.
Isaac Newton (1643–1727) a repris les travaux de Kepler, notamment la 3ème loi, pour ensuite bâtir sa théorie de la gravitation universelle, qui explique à la fois le mouvement des corps célestes et la mécanique traditionnelle (chute des corps, etc.).

D’autre part, les trois lois de Kepler sont également généralisables aux systèmes solaires autres que le nôtre (description du mouvement d’exoplanètes), considérant ainsi d’autres étoiles que le Soleil.

En outre, les lois de Kepler sont également utilisables pour étudier les orbites des satellites d’une planète comme la Terre (voir « Mouvement d’un satellite de la Terre »), en se plaçant dans le référentiel géocentrique. Pour la 3ème loi de Kepler, il suffit de remplacer Ms par la masse M de la planète autour de laquelle tourne le satellite étudié.
L'essentiel
Les lois de Kepler ont pour vocation de décrire le mouvement des planètes tournant autour du Soleil :
• 1ère loi : Toute planète en orbite autour du Soleil évolue sur une orbite elliptique dont le Soleil est l'un des foyers.
• 2ème loi (« loi des aires ») : L'aire balayée par un segment joignant le Soleil et la planète étudiée est constante pendant un temps ∆t donné, indépendamment de la position de la planète sur son orbite.
• 3ème loi (« loi des périodes ») : Le carré de la période orbitale T divisé par le cube du demi-grand axe de l'orbite a est une constante indépendante de la masse de la planète, et invariante d'une planète à l'autre :
, où Ms est la masse du Soleil.

Les lois de Kepler sont généralisables aux autres corps célestes en orbite autour du Soleil (comètes), et permettent également d'étudier un satellite en orbite autour d'une planète.

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