Les dérivées des fonctions usuelles

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Autrement dit, la dérivée de f en x = a existe pour tout a qui appartient à I.

Dans ce cas, on peut considérer f’ la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f ’(x) = .

Remarque
La notation  indique que l’on dérive la fonction f par rapport à la variable x. Il se peut en effet que la fonction f soit définie par deux variables : x et t.

La fonction f’ =  est appelée dérivée de f sur I.

Il faut suivre les étapes suivantes pour déterminer la dérivée f’ =  de f sur un intervalle I.

1. Calculer le taux d’accroissement.
   On calcule le taux d'accroissement  en un réel a quelconque qui appartient à I.
2. Étudier la limite du taux d’accroissement.
   On étudie vers quoi tend  lorsque h tend vers 0. Le résultat trouvé correspond à f’(a).
3. Déterminer la dérivée.
   On en déduit la fonction dérivée f’ : x → f’(a) en remplaçant a par x dans l'expression de f’(a).

On se place en un réel a quelconque et on calcule le taux d'accroissement de f.

Pour h ≠ 0, 

Pour tout réel a, 2a + h tend vers 2a lorsque h tend vers 0.

La fonction f : x → x² est donc dérivable sur  et pour tout a, f ’(a) = 2a.

La dérivée de la fonction carrée est f ’(x) = 2x.

Étude de la fonction inverse f : x → .

On se place en un réel a quelconque et on calcule le taux d'accroissement de f.

Pour h ≠ 0, 

Pour tout réel a,  tend vers  lorsque h tend vers 0.

La fonction  est donc dérivable sur  et sur  et pour tout a, . La fonction  n'est pas dérivable en 0 car  n'est pas défini pour a = 0.

La dérivée de la fonction inverse est : .