Utiliser l'expression du travail d'une force - Maxicours

Utiliser l'expression du travail d'une force

Objectifs
  • Présenter la notion de travail d’une force.
  • Donner la formule du travail d’une force.
Points clés
  • Lors d’un déplacement rectiligne d’un point A à un point B, le travail W d’une force  constante exercée sur le système étudié est égal au produit scalaire du vecteur  par le vecteur déplacement  :
    WAB() = .
  • Le travail d’une force correspond à l’énergie fournie par cette force au système physique sur lequel elle s’exerce, durant le mouvement de ce système.
Pour bien comprendre
  • Forces
  • Produit scalaire, projections, vecteurs
1. Le travail d'une force
a. Mise en situation

Les trois personnes A, B et C exercent des forces de directions différentes : AB et C.

Elles n’ont pas la même efficacité pour déplacer la voiture.

  • A aide la voiture à avancer.
  • ne contribue pas à faire déplacer la voiture.
  • C freine la voiture en s’opposant à son déplacement.

On dit que ces trois forces ne produisent pas le même travail.

b. Définition

Une force est capable d’exercer une action mécanique sur un système physique : modifier sa trajectoire, le mettre en mouvement, le déformer, etc.

Plus précisément, quand un système exerce une force sur un autre, le travail de la force traduit les transferts d’énergie qui ont lieu entre ces deux systèmes.

Le travail d’une force est une grandeur physique assimilée à une énergie, qui permet de rendre compte de cette action dans le cas d’un système en mouvement.
On se restreint aux forces constantes.
Une force  est constante si sa direction, son sens et son intensité ne changent pas au cours du mouvement.

Lors d’un déplacement rectiligne d’un point A à un point B, le travail W d’une force  constante exercée sur le système étudié est égal au produit scalaire du vecteur  par le vecteur déplacement .

WAB() = 

avec :
  • WAB() le travail exercé par la force  sur le système, en joule (J)
  •  la force constante exercée sur le système, en newton (N)
  •  le vecteur déplacement entre un point A et un point B, en mètre (m)
Rappel
Le produit scalaire est une opération (une multiplication) entre deux vecteurs qui donne une valeur et non un vecteur.

En introduisant l’angle α entre  et , on a l’expression suivante.

WAB() = 
WAB() = F × AB × cos(α)

avec :
  • F la valeur de la force constante , en newton (N) 
  • AB la valeur du vecteur déplacement , en mètre (m) 
  • α l’angle entre les vecteurs  et , en degré (°) ou en radian (rad) 
  • cos(α) n’a pas d’unité

Représentation d’une force  exercée sur un objet
c. La valeur du travail selon l'angle ?

Le travail d’une force est une grandeur algébrique ; il peut être positif, nul ou négatif. La valeur du travail d’une force dépend de l’angle α entre la force  exercée sur le système et le vecteur déplacement  de ce système.

Voici ci-dessous les différentes possibilités selon les valeurs prises par l’angle α.

Si α = 0°
Si α = 0° (α = 0),  et  sont colinéaires et de même sens.

On a cos(0) = 1, le travail de la force vaut donc :

WAB() = 
WAB(F × AB × cos(α)
WAB() = F × AB × 1 = F × AB.

La force   favorise le déplacement (WAB() > 0), le travail est moteur.


Cas où α = 0°
Si 0° < α < 90°
Si 0° < α < 90° (0 < α < ).

On a cos(α) > 0, le travail de la force vaut donc :

WAB() =  
WAB() = F × AB × cos(α) > 0.

La force  favorise le déplacement (WAB() > 0), le travail est moteur.


Cas où 0° < α < 90°
Si α = 90°
Si α = 90° (α = ),  et  sont orthogonaux et de sens perpendiculaires.

On a cos(90) = 0, le travail de la force vaut donc :

WAB() =  
WAB() = F × AB × cos(α)
WAB() = F × AB × 0 = 0.

La force   n’influence pas le déplacement (WAB() = 0), le travail est nul.


Cas où α = 90°
Si 90° < α < 180°
Si 90° < α < 180° ( < α < ).

On a cos(α) < 0, le travail de la force vaut donc :

WAB() = 
WAB() = F × AB × cos(α) < 0.

La force  ne favorise pas le déplacement (WAB() < 0), le travail est résistant.


Cas où 90° < α < 180°
Si α = 180°
Si α = 180° (α = ),  et  sont colinéaires et de sens contraires.

On a cos(180) = −1, le travail de la force vaut donc :

WAB() =  
WAB() = F × AB × cos(α)
WAB() = F × AB × (−1) 
WAB() = −F × AB.

La force  ne favorise pas le déplacement (WAB() < 0), le travail est résistant.


Cas où α = 180°
Récapitulatif des différentes possibilités
0° ≤ α < 90° α = 90° 90° < α ≤ 180°
WAB() > 0 WAB() = 0 WAB() < 0
Le travail est moteur. Le travail est nul. Le travail est résistant.
2. Des exemples de travaux
a. Travail du poids

Un corps de masse m est soumis à son poids , qui est une force constante dont la valeur est P = m × g.

Le corps est déplacé d’un point A à un point B, d’altitudes respectives zA et zB (zA > zB). Le déplacement entre les deux points est rectiligne.

Le travail du poids  s’exprime par WAB() = P × AB × cos(α).


Schéma de la situation

Dans le triangle rectangle AHB,
, avec AH = zA − zB.

Ainsi, AB × cos(α) = AH = zA − zB.

On a donc :

WAB() = P × AB × cos(α)
WAB() = P × (zA − zB)
WAB() = m × g × (zA − zB)
WAB() > 0
(car zA > zB).

b. Travail d'une force électrique

On considère un condensateur plan constitué de deux plaques en regard, séparées d’une distance d (en mètre).

On impose une différence de potentiel U entre les plaques. Il apparait alors un champ électrostatique  uniforme entre les plaques, dont la valeur est .

Une particule de charge q > 0 est placée dans le condensateur. Elle est alors soumise à une force électrique e = q × . Cette force est constante.

La particule se déplace du point A au point B.


Schéma de la situation

Le travail fourni par la force électrique e vaut :
WAB(e) = e   =  × AB × cos(α).

On a , soit d = AB × cos(α).

Ainsi, WAB(e) = e   =  × AB × cos(α) =  × d.

On utilise  = q × E et , ce qui permet d’obtenir :

WAB(e) =  × d
WAB(e) = q × E × d
WAB(e) = q ×  × d
WAB(e) = q × 
U.

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