Mesurer les inégalités

La disparité mesure les écarts entre les valeurs d'une variable. Ces écarts peuvent être exprimés en unités quelconques, c'est-à-dire en euros, en kilos, en mètres... On parle alors de disparité absolue.

Mais la disparité peut aussi être exprimée en valeur relative, on parle alors de disparité relative. Celle-ci est généralement exprimée sous la forme d'un coefficient multiplicateur mais elle peut aussi être sous forme d'indice ou de pourcentage.

La dispersion d'une série statistique s'intéresse à l'étendue des écarts entre les valeurs extrêmes d'une série. Cependant, les valeurs maximales et minimales sont souvent exceptionnelles et donc peu représentatives.
Pour contourner cette difficulté, la population est alors divisée en un nombre défini de groupes de tailles égales délimitées par certaines valeurs de la variable étudiée : les quantiles. Il s'agit de :

• quartiles si la population est répartie en quatre groupes,
• de quintiles si la population est divisée en cinq groupes,
• de déciles en dix groupes,
• et de centiles en cent groupes.

Chaque quantile est donc de taille égale. Ainsi, par exemple, on appelle décile les seuils de la variable entre lesquelles se situe un dixième de la population.

La dispersion interquartile peut être représentée de la manière suivante :

Pour mesurer le degré de dispersion, il devient possible de mesurer l'écart entre les deux groupes extrêmes et non entre les valeurs extrêmes ; on utilise pour cela deux outils :

• l'intervalle interquantile : celui-ci s'obtient en mesurant la différence entre les quantiles extrêmes. La population comprise dans l'intervalle interdécile par exemple (cas de l'exemple) est 80 % de l'ensemble, car les deux déciles extrêmes sont exclus.

• le rapport interquantile : celui-ci s'obtient en faisant le rapport entre les quantiles extrêmes.

Contrairement aux calculs de disparités et de dispersion, les mesures de concentration cherchent à évaluer les inégalités en prenant en compte l'ensemble des valeurs que prend la variable dans la population étudiée en combinant une représentation graphique, la courbe de Lorenz, et un indicateur statistique, le coefficient de Gini :

• la représentation graphique de la dispersion et de la concentration ou la courbe de Lorenz : si l'on représente par un graphique (sur lequel l'axe des abscisses figure les pourcentages cumulés de la population et l'axe des ordonnées les pourcentages cumulés de la variable concernée) cette situation théorique où la variable est répartie de façon strictement égalitaire, on obtient une droite à 45°, dite droite d'équirépartition, bissectrice de l'angle formé par l'axe représentant les pourcentages cumulés de la population (x) et celui représentant les pourcentages cumulés de la variable (y).

La courbe, également appelée courbe de Lorenz, représente la situation la plus souvent réellement observée. Elle se situe donc en dessous, et à droite, de la droite d'équirépartition.

• un indicateur statistique de la concentration ou l'indice de Gini  : également appelé coefficient de Gini, l'indice de Gini mesure la concentration d'une variable au sein d'une population. Il se calcule à partir de la courbe de Lorenz et il est compris entre 0 (absence de concentration car la répartition est parfaitement égalitaire) et 1 (concentration totale car la répartition est parfaitement inégalitaire). C'est le rapport entre la surface comprise entre la courbe de Lorenz et la diagonale OB d'une part, et la surface du triangle OAB d'autre part. Plus le coefficient de Gini est proche de 1, plus la concentration de la grandeur étudiée est forte.