Lycée > Premiere > SES > Calculer le mode et la médiane- Première- SES

Calculer le mode et la médiane

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger le pdf

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger
le pdf

Objectif

Connaitre les calculs du mode et de la médiane.

Point clé

Savoir utiliser les outils d'analyse du mode et de la médiane.

Le mode et la médiane sont des outils d'analyse de la dispersion d'une variable.

1. Le mode

Le mode est la valeur de la variable la plus fréquente de la population étudiée. En d'autres termes, dans une distribution statistique, le mode est la modalité de la variable à laquelle est associé le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. On note généralement le mode : M₀.
Le calcul du mode de distribution et sa difficulté dépendent de la nature continue ou discrète de la variable étudiée.

a. Cas de la variable discrète

Le mode est la valeur de la variable possédant le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. Il est, dans ce cas, simplement ou directement observable. Dans un tableau statistique, c'est le x_i ou le f_i le plus élevé.

Exemple
Soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur âge, dont le tableau statistique est :

Âge x_i	Effectifs n_i	Fréquences f_i	Fréquences f_i en %
14 15 16 17 18	6 10 10 2 2	0,2 0,33 0,33 0,067 0,067	20 53 86 93 100
∑	30	1	100 %

L'effectif n_i ou la fréquence f_i les plus élevés montrent que le mode est ici de 15 et 16 ans (l'effectif est le même dans les deux cas).

b. Cas de la variable continue

Si la variable est continue, ses modalités sont des classes de valeurs. Le mode de distribution ne pourra pas être une modalité représentant une valeur précise de cette variable mais sera une classe de valeurs. On appelle alors classe modale la classe constituant le mode de la distribution.

Exemple
soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur taille :

Taille x_i	Effectifs n_i	Fréquences f_i	Fréquences f_i en %
<1,60 [1,60-1,70[ [1,70-1,80[ [1,80-1,90[ ≥ 1,90	8 9 10 2 1	0,267 0,30 0,33 0,067 0,033	26,7 56,7 89,7 96,3 100
∑	30	1	100 %

L'effectif n_i ou la fréquence f_i les plus élevés montrent que le mode est ici la classe [1,70-1,80[.

Remarque
Le mode étant une valeur de la variable, il s'exprime dans la même unité que la variable. Il peut exister des distributions présentant plusieurs modes lorsque plusieurs modalités pour la même fréquence maximale.

2. La médiane

La médiane est la valeur de la variable telle que la moitié des individus de la population prenne une valeur qui lui soit inférieure, l'autre moitié des individus de la population prenant par conséquent une valeur qui lui soit supérieure.
Si les individus sont ordonnés selon la valeur de cette variable, ce qui est généralement le cas dans une distribution statistique, la médiane est la valeur de la variable qui permet de partager la population étudiée en deux.
On note généralement la médiane : Mé.

Le calcul de la médiane de distribution dépend de la nature continue ou discrète de la variable étudiée.

a. Le cas où la variable est discrète

Le calcul de la médiane se fait à partir des effectifs ou des fréquences cumulées. La médiane est la valeur de la variable à laquelle est associé un effectif cumulé égal à N / 2, ou une fréquence cumulée égale à 0,5, N étant effectif total de la population.

Si ces valeurs d'un effectif cumulé égal à N / 2 ou d'une fréquence cumulée égale à 0,5 ne correspondent pas exactement à une valeur de la variable et « tombent entre deux lignes » de la distribution, aucune valeur possible de la variable ne partage alors exactement la population en deux sous-ensembles égaux. Par convention, on retient dans ce cas comme médiane la valeur de la variable immédiatement supérieure.

Exemple
Soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur âge :

Âge x_i	Effectifs n_i	Effectifs cumulés N_i
14 15 16 17 18	6 10 10 2 2	6 16 26 28 30
∑	30	30

On a : N = 30 ; donc : N/2 = 15.

La population comprend 30 individus. La médiane est la valeur de la variable (l'âge) qui partage ses 30 individus en deux sous-ensembles de 15 étudiants chacun. Le calcul des effectifs cumulés N_i montre que la moitié de l'effectif (N / 2 = 15) se situe entre deux valeurs de la variable : 14 et 15 ans. Par convention, on retiendra comme médiane la valeur de la variable immédiatement supérieure, soit 15 ans.

b. Le cas où la variable est continue

Il n'y a, pour le calcul de la médiane, aucune différence selon que les classes de la variable sont d'amplitudes constantes ou variables. La variable étant continue, il devient possible, contrairement au cas précédent, d'évaluer précisément la valeur de la médiane.

Le calcul de la médiane se fait alors en deux temps :

détermination de la classe médiane :
la classe médiane est la classe de valeurs de la variable contenant la médiane. Elle est déterminée de la même manière que la médiane dans le cas d'une variable discrète, à partir des effectifs et des fréquences cumulés.

Exemple
Soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur taille :

Taille x_i	Effectifs n_i	Effectifs cumulés N_i
<1,60 [1,60-1,70[ [1,70-1,80[ [1,80-1,90[ ≥ 1,90	8 9 10 2 1	8 17 25 27 30
∑	30	30

On a : N = 30, et N / 2 = 15. Dans cette population, 8 individus prennent une valeur inférieure à 1,60 m et 17 individus une valeur de la variable inférieure à 1,70 m. La médiane est donc comprise entre 1,60 m et 1,70 m.
La classe [1,60-1,70[ est la médiane de la distribution.

détermination de la médiane : cette seconde étape cherche à découvrir la valeur précise de la médiane à l'intérieur de la classe médiane. La méthode généralement utilisée pour ce faire est celle de l'interpolation linéaire ; c'est mathématiquement une application simple du théorème de Thalès.

x_i; x_j [ la classe médiane déterminée à l'étape précédente. Appelons respectivement N_i et N_j les effectifs cumulés associés aux deux bornes de cette médiane : x_i et x_j .
On peut représenter, de part et d'autre d'un même axe, les valeurs de la variable (au-dessus) les effectifs cumulés associés (en-dessous), cela pour les deux bornes de la classe médiane et pour la médiane elle-même :

Aux deux barres x_i et x_j on associe, par définition, les deux effectifs cumulés N_i et N_j, et à la médiane qui est comprise entre x_i et x_j, on associe un effectif cumulé égal à N / 2. Le théorème de Thalès permet d'écrire, à partir de :

Exemple
Dans l'exemple précédent, on a : x_i = 1,60 m et x_j = 1,70 m (bornes de la classe médiane) ; on a aussi : N_i = 8 et N_j = 17 (effectifs cumulés associés) ; on peut alors construire l'axe suivant, soit :