Calculer le mode et la médiane- Première- SES

Le mode est la valeur de la variable possédant le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. Il est, dans ce cas, simplement ou directement observable. Dans un tableau statistique, c'est le x_i ou le f_i le plus élevé.

Si la variable est continue, ses modalités sont des classes de valeurs. Le mode de distribution ne pourra pas être une modalité représentant une valeur précise de cette variable mais sera une classe de valeurs. On appelle alors classe modale la classe constituant le mode de la distribution.

Le calcul de la médiane se fait à partir des effectifs ou des fréquences cumulées. La médiane est la valeur de la variable à laquelle est associé un effectif cumulé égal à N / 2, ou une fréquence cumulée égale à 0,5, N étant effectif total de la population.

Si ces valeurs d'un effectif cumulé égal à N / 2 ou d'une fréquence cumulée égale à 0,5 ne correspondent pas exactement à une valeur de la variable et « tombent entre deux lignes » de la distribution, aucune valeur possible de la variable ne partage alors exactement la population en deux sous-ensembles égaux. Par convention, on retient dans ce cas comme médiane la valeur de la variable immédiatement supérieure.

Il n'y a, pour le calcul de la médiane, aucune différence selon que les classes de la variable sont d'amplitudes constantes ou variables. La variable étant continue, il devient possible, contrairement au cas précédent, d'évaluer précisément la valeur de la médiane.

Le calcul de la médiane se fait alors en deux temps :

• détermination de la classe médiane :
  la classe médiane est la classe de valeurs de la variable contenant la médiane. Elle est déterminée de la même manière que la médiane dans le cas d'une variable discrète, à partir des effectifs et des fréquences cumulés.
• 
  

• détermination de la médiane : cette seconde étape cherche à découvrir la valeur précise de la médiane à l'intérieur de la classe médiane. La méthode généralement utilisée pour ce faire est celle de l'interpolation linéaire ; c'est mathématiquement une application simple du théorème de Thalès.

x_i; x_j [ la classe médiane déterminée à l'étape précédente. Appelons respectivement N_i et N_j les effectifs cumulés associés aux deux bornes de cette médiane : x_i et x_j .
On peut représenter, de part et d'autre d'un même axe, les valeurs de la variable (au-dessus) les effectifs cumulés associés (en-dessous), cela pour les deux bornes de la classe médiane et pour la médiane elle-même :

 

Aux deux barres x_i et x_j on associe, par définition, les deux effectifs cumulés N_i et N_j, et à la médiane qui est comprise entre x_i et x_j, on associe un effectif cumulé égal à N / 2. Le théorème de Thalès permet d'écrire, à partir de :

 

Exemple
Dans l'exemple précédent, on a : x_i = 1,60 m et x_j  = 1,70 m (bornes de la classe médiane) ; on a aussi : N_i = 8 et N_j = 17 (effectifs cumulés associés) ; on peut alors construire l'axe suivant, soit :