Des édifices ordonnés : les cristaux - Maxicours

Des édifices ordonnés : les cristaux

Objectifs
  • Utiliser une représentation 3D informatisée du cristal de chlorure de sodium. Relier l’organisation de la maille au niveau microscopique à la structure du cristal au niveau macroscopique.
  • Pour chacun des deux réseaux (cubique simple et cubique à faces centrées) :
    • représenter la maille en perspective cavalière ;
    • calculer la compacité dans le cas d’entités chimiques sphériques tangentes ;
    • dénombrer les atomes par maille et calculer la masse volumique du cristal.
  • Distinguer, en termes d’échelle et d’organisation spatiale, maille, cristal, minéral, roche. Les identifier sur un échantillon ou une image.
Points clés
  • Le chlorure de sodium solide (présent dans les roches ou issu de l’évaporation de l’eau de mer) est constitué d’un empilement régulier d’ions : c’est l’état cristallin.
  • Une structure cristalline est définie par une maille élémentaire répétée périodiquement. Un type cristallin est défini par la forme géométrique de la maille, la nature et la position dans cette maille des entités qui le constituent.
  • Les cristaux les plus simples peuvent être décrits par une maille cubique que la géométrie du cube permet de caractériser. La position des entités dans cette maille distingue les réseaux cubique simple et cubique à faces centrées.
  • La structure microscopique du cristal conditionne certaines de ses propriétés macroscopiques dont sa masse volumique.
Pour bien comprendre
  • Entité chimique, roche et minéral
  • Géométrie du cube et de la sphère, calculs de volumes, proportions
1. Les solides amorphes ou cristallins

À la différence des liquides et des gaz, les solides sont des systèmes ayant une forme propre. À l’échelle microscopique, les particules constituant le solide restent fixes les unes par rapport aux autres.

a. L'organisation à l'échelle microscopique

En fonction de l’organisation des particules composant le solide à l’échelle microscopique, on distingue deux types de solide.

Dans les solides amorphes, les particules (atome, ion ou molécule) sont placées de manière désordonnée dans les trois directions de l’espace. On n’observe aucun ordre au-delà de l’échelle moléculaire.

Arrangement à l’échelle microscopique d’un verre
Dans les solides cristallins, les particules (atome, ion ou molécule) sont arrangées de manière régulière et ordonnée dans les trois directions de l’espace. On observe une répétition parfaite d’un même arrangement que l’on appelle la maille élémentaire du cristal.

Arrangement à l’échelle microscopique d’un cristal d’oxyde de nickel NiO
b. Un exemple de solide cristallin : le chlorure de sodium

Le chlorure de sodium solide est présent dans certaines roches et on peut le récupérer par évaporation de l’eau de mer. Il s’agit d’un empilement régulier d’ions sodium Na+ et d’ions chlorure Cl.

La maille élémentaire du chlorure de sodium est un cube.

Représentation 3D de la maille élémentaire de chlorure de sodium

Cette maille élémentaire permet d’expliquer la structure à notre échelle du cristal (niveau macroscopique) qui est un empilement de cubes de chlorure de sodium.


Photo de cristaux de chlorure de sodium et maille élémentaire du cristal
c. L'organisation à l'échelle macroscopique
Du microscopique au macroscopique
Un minéral est caractérisé par une formule chimique. Son organisation sous forme de cristal est décrite par sa maille élémentaire qui fixe la géométrie de l’édifice cristallin.
Une roche est composée d’un mélange de cristaux.

La calcite : de la formule chimique à la roche
Condition de formation d’un cristal

Une roche magmatique se forme à partir du refroidissement d’une lave (roche en fusion). La structure, amorphe ou cristalline, d’une roche magmatique dépend de l’évolution de la température pendant le refroidissement.

  • 1er cas : la température se stabilise pendant le refroidissement.

    Évolution de la température au cours du refroidissement d’une lave
    Dans ce cas, les entités chimiques ont le temps de se réorganiser et on obtient au final un solide avec une structure cristalline.
  • 2e cas : la température diminue en permanence pendant le refroidissement.

    Évolution de la température au cours du refroidissement d’une lave
    Dans ce cas, les entités chimiques n’ont pas le temps de se réorganiser et on obtient un solide amorphe.
2. Les réseaux cristallins

Les réseaux cristallins, en fonction de l’organisation de leurs atomes dans la maille élémentaire, se répartissent en différentes familles. Deux familles dont la maille élémentaire est un cube sont à connaitre.

a. La géométrie du cube
  • Un cube possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.

    Visualisation d’une face, d’un sommet et d’une arête d’un cube
  • Un cube est caractérisé par la longueur de ses arêtes qui valent a. Son volume V est alors égal à : V = a3.
    La longueur de l’arête est exprimée en mètre (m) et le volume en mètre cube (m3).
Remarque
On peut aussi utiliser des sous-multiples du mètre :
  • le centimètre : 1 cm = 1 × 10–2 m soit 1 cm3 = 1 × 10–6 m3 ;
  • le millimètre : 1 mm = 1 × 10–3 m soit 1 mm3 = 1 × 10–9 m3 ;
  • le micromètre : 1 μm = 1 × 10–6 m soit 1 μm3 = 1 × 10–18 m3 ;
  • le nanomètre : 1 nm = 1 × 10–9 m soit 1 nm3 = 1 × 10–27 m3.
b. Le réseau cubique simple

Dans la maille élémentaire d’un réseau cubique simple, on trouve un atome sur chaque sommet du cube (et aucun atome à l’intérieur du cube).


Maille cubique simple dans le modèle des sphères compactes tangentes
et dans le modèle éclaté

Les atomes présents dans une maille n’appartiennent pas entièrement à celle-ci car ils sont partagés avec d’autres mailles. Ils comptent donc pour une fraction dans la maille (). Dans le schéma d’un réseau cubique simple ci-dessous, on observe que chaque atome d’une maille se partage entre 8 mailles en tout.


Dans un réseau cubique simple, 8 mailles se partagent un atome placé à un sommet.

Un atome situé au sommet d’une maille compte donc pour de maille.

On appelle nombre d’atomes équivalents d’une maille, la somme des fractions d’atomes.

Calculons le nombre d’atomes équivalents dans une maille :

  • on compte 8 atomes, chacun placé à un sommet de la maille cubique ;
  • chaque atome compte pour dans la maille ;
  • le nombre N d’atomes équivalents dans la maille est égal à :
    N = nombres d'atomes × fraction associée = 8 ×  = 1.

Dans la maille cubique simple, il y a donc un atome équivalent.

c. Le réseau cubique à faces centrées

Dans la maille élémentaire d’un réseau cubique à faces centrées, on trouve un atome sur chaque sommet du cube et un atome au centre de chaque face :


Maille cubique à faces centrées dans le modèle des sphères compactes tangentes
et dans le modèle éclaté

Chacun des atomes de la maille se partage avec les mailles adjacentes. Un atome situé à un sommet se partage entre 8 mailles (voir schéma précédent), tandis qu’un atome situé au centre d’une face se partage entre deux mailles.


Dans un réseau cubique à faces centrées, deux mailles se partagent un atome
placé au centre d’une face.

Un atome situé au centre d’une face d’une maille compte donc pour  maille.
Calculons le nombre d’atomes équivalents dans une maille :

  • on compte 8 atomes, chacun placé à un sommet de la maille cubique ;
  • chaque atome compte pour dans la maille ;
  • on compte 6 atomes, chacun placé au centre d’une face de la maille cubique ;
  • chaque atome compte pour dans la maille ;
  • le nombre N d’atomes équivalents dans la maille est égal à :
    N = nombres d'atomes × fraction associée
    N = 8 ×  + 6 ×  = 1 + 3 = 4.

Dans la maille cubique à faces centrées, il y a donc quatre atomes équivalents.

3. Les caractéristiques d'une maille

Une maille est caractérisée par deux données qui sont la compacité et la masse volumique.

a. La compacité
Définition
La compacité est égale au pourcentage occupé par la matière atomique dans le cube de la maille, par rapport au volume de la maille. Elle est notée C et n’a pas d’unité. On la calcule en divisant le volume occupé par les atomes de la maille par le volume de la maille.

Remarque
La valeur de la compacité est strictement comprise entre 0 (qui correspond à 0 %) et 1 (qui correspond à 100 %).
Rappel mathématique : le volume de la sphère
Une sphère est caractérisée par son rayon r. Le volume V occupé par une sphère est égal à : .
Le rayon étant en mètre, le volume est en mètre cube.

Un atome étant modélisé par une sphère de rayon r, et N étant égal au nombre d’atomes équivalents dans la maille cubique d’arête de longueur a, la compacité C est égale à : .

Remarque
Le rayon r et la longueur de l’arête a doivent être dans la même unité de longueur.
Calcul pour un réseau cubique simple

Pour un réseau cubique simple, on peut calculer la compacité en utilisant la relation mathématique entre le rayon r d’un atome et la longueur a de l’arête du cube. Dans le cadre du modèle des sphères tangentes, les atomes s’organisent selon le schéma suivant.


Illustration de la relation entre le rayon atomique r et la longueur de l’arête a
Méthode

Pour calculer la compacité d’un réseau cubique simple, il faut :

  1. exprimer le rayon atomique r en fonction de la longueur de l’arête a :
  2. remplacer le rayon r par son expression en fonction de a dans la formule de la compacité :
  3. remplacer N par sa valeur qui est égale à 1 dans la formule de la compacité, puis procéder au calcul :

La compacité d’un réseau cubique simple est égale à 0,52, ce qui signifie que la matière atomique occupe 52 % de la maille, le reste (soit 48 %) étant occupé par du vide.

Remarques
Pour le calcul, il faut connaitre les puissances de deux : 21 = 2 ; 22 = 2 × 2 = 4 ; 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
La compacité est indépendante de la nature des atomes de la maille.
Calcul pour un réseau cubique à faces centrées

Pour un réseau cubique à faces centrées, on peut calculer la compacité en utilisant la relation mathématique entre le rayon r d’un atome et la longueur a de l’arête du cube. Dans le cas du modèle des sphères tangentes, les atomes s’organisent selon le schéma suivant.


Illustration de la relation entre le rayon atomique r et la longueur de l’arête a
Rappel mathématique : le théorème de Pythagore
Considérons un triangle rectangle ABC, rectangle en A.
Le carré de la longueur de l'hypoténuse BC est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés AB et AC, c'est-à-dire (BC)2 = (AB)2 + (AC)2.
Dans le réseau cubique face centrée, on peut identifier chacun des côtés du triangle rectangle : BC = 4 × r ; AB = a ; AC = a.
Méthode

Pour calculer la compacité d’un réseau cubique à faces centrées :

  1. exprimer le rayon atomique r en fonction de la longueur de l’arête a :
  2. remplacer le rayon r par son expression en fonction de a dans la formule de la compacité :
  3. remplacer N par sa valeur qui est égale à 4 dans la formule de la compacité puis on procède au calcul :


La compacité d’un réseau cubique à faces centrées est égale à 0,74, ce qui signifie que la matière atomique occupe 74 % de la maille, le reste (soit 26 %) étant occupé par du vide.

Remarque
Pour le calcul, il faut connaitre les puissances de racine de deux :  ;  ; .
b. La masse volumique
La masse volumique d’un échantillon de matière est égale au rapport de la masse m (en kilogramme kg) de l’échantillon sur le volume V (en mètre cube m3) occupé par celui-ci.
Elle est notée ρ et a pour unité le kilogramme par mètre cube (kg·m–3).

Remarque
La masse volumique peut s’exprimer dans d’autres unités en fonction des unités de la masse et du volume :
1 m3 = 103 dm3 = 106 cm3 et 1 dm3 = 1 L = 103 mL
1 kg = 103 g = 106 mg

La masse volumique d’un cristal se calcule en divisant la masse des atomes présents dans la maille par le volume de la maille.
Pour un nombre équivalent d’atomes égal à N dans la maille, la masse d’un atome étant égale à matome, dans une maille cubique dont la longueur des arêtes est égale à a, la masse volumique a pour expression : .

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