La musique ou l'art de faire entendre les nombres

1. On part d’une note de référence de fréquence f₀. On impose que toutes les notes de la gamme construite possèdent une fréquence f comprise dans l’intervalle de fréquences puisque l’objectif est de construire une suite de notes situées sur une octave.
   Exemple – Construction d’une gamme à partir du do 261,6 Hz
   La limite en fréquence à l’octave est fixée à 2 × 261,6 = 523,2 Hz. L’intervalle de fréquence de l’octave concernée est donc [261,6Hz ; 523,2Hz].
2. On cherche la fréquence de la note suivante sur le cycle des quintes : et on s’assure que .
   Exemple (suite)
   On multiplie par la fréquence du do : × 261,6 = 392,4 Hz. On compare cette fréquence trouvée avec la fréquence du do de l’octave : 392,4 Hz < 523,2 Hz. La fréquence trouvée est dans l’intervalle [261,6 Hz ; 523,2 Hz].
3. On recommence le processus du cycle des quintes à partir de et on s’assure que f₀ ≤ f₂ ≤ 2 × f₀.

   Dans le cas où la fréquence trouvée ne se trouve pas dans l’intervalle de fréquences de la gamme, on divise sa valeur par 2 autant de fois qu’il le faut pour que l’on se retrouve dans l’intervalle .

   Exemple (suite)
   On multiplie par la fréquence précédente trouvée :
     × 392,4 = 588,6 Hz.
   On compare cette fréquence trouvée avec la fréquence du do de l’octave : 588,6 Hz > 523,2 Hz. La fréquence trouvée n’est pas dans l’intervalle [261,6 Hz ; 523,2 Hz].
   On divise donc par 2 cette fréquence de manière à ce que le résultat du calcul soit dans l’intervalle : = 294,3 Hz.
   On constate que : 261,6 Hz ≤ 294,3 Hz ≤ 523,2 Hz.
4. Le processus s’arrête dès que la fréquence obtenue atteint ou approche au plus près la valeur 2 × f₀.
   Exemple
   Dans le tableau suivant, on répertorie toutes les notes de la gamme qui sont construites à partir du do 261,6 Hz. Les fréquences obtenues dans la 3^e colonne ne sont pas dans l’ordre croissant. Il faut alors les ranger dans l’ordre croissant afin d’obtenir toutes les notes de la gamme dans le bon ordre (4^e colonne).
   

La différence entre les deux fréquences est appelée comma. Pour la gamme construite ici : comma = 530,4 – 523,2 = 7,2 Hz.

La formule générale de la fréquence f d’une note de la gamme en fonction de la fréquence de base f₀ est :

avec p et m entiers naturels

La gamme de Pythagore présente un inconvénient majeur : l’intervalle entre deux notes d’une octave n’est pas constant.

Intervalles dans la gamme de Pythagore (construite à partir du do 261,6 Hz)

Cela rend difficile la transposition, c’est-à-dire le décalage de toutes les notes d'une mélodie vers l'aigu ou le grave sans changer les intervalles entre les notes. Cette transposition s'effectue soit lors de l'écriture de la partition, soit lors de l'interprétation de la mélodie. Elle est nécessaire lorsque des instruments accompagnent une voix dont la tessiture n’est pas adaptée à l’œuvre originale (voix trop grave ou trop aiguë par rapport à la partition). Elle est aussi employée lorsque plusieurs instruments différents doivent jouer ensemble.

La gamme tempérée en douze demi-tons

Le rapport des fréquences entre les deux do d’une octave correspond donc à 12 intervalles :

Le rapport entre deux fréquences consécutives séparées d’un demi-ton est donc la racine douzième de 2 :

Les fréquences des notes de la gamme à intervalles égaux s’expriment en fonction de nombres irrationnels.

Cette gamme simplifiée dans laquelle tous les intervalles entre les notes sont égaux résout le problème de la transposition.