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La musique ou l'art de faire entendre les nombres

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Objectifs

Calculer des puissances et des quotients en lien avec le cycle des quintes.
Utiliser la racine douzième de 2 pour partager l’octave en douze intervalles égaux.

Points clés

En musique, un intervalle entre deux sons est égal au rapport de leurs fréquences fondamentales. Deux sons correspondent à la même note, à deux hauteurs différentes, si leurs fréquences sont dans le rapport . L’octave est l’intervalle qui les sépare.
Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave. Dans l’Antiquité, la construction des gammes était basée sur des fractions simples : , , , etc. Les sons dont les fréquences correspondent à ces rapports simples étaient considérés comme consonants.
Une quinte est un intervalle entre deux fréquences de rapport . Les gammes de Pythagore sont basées sur le cycle des quintes.
Un seul cycle des quintes ne « reboucle » jamais sur la note de départ, c'est-à-dire que la fréquence de la dernière note n’est pas égale strictement au double de celle de la première note.
En revanche, les cycles de 5, 7 ou 12 quintes « rebouclent » presque, c’est-à-dire que la fréquence de la dernière note est presque égale au double de celle de la première.
Les intervalles entre deux notes consécutives des gammes de Pythagore ne sont pas égaux, ce qui rend difficile la transposition. Au XVII^e siècle, la connaissance des nombres irrationnels a permis de construire des gammes à intervalles égaux : les gammes tempérées.

Pour bien comprendre

Les fractions et les puissances

1. La gamme

Le musicien joue de son instrument en lisant des notes placées sur des portées.

Identification de quelques notes sur une portée

La note est associée à la hauteur d’un son (c’est-à-dire un son plus grave ou plus aigu) produit par l’instrument. La hauteur est d’autant plus importante que la fréquence est élevée. Chaque note caractérise la fréquence fondamentale de ce son, en hertz (Hz).

Fréquences associées aux notes sur la portée

Remarques

Dans le langage courant, et dans la suite de ce cours, on parle de « fréquence » plutôt que de « fréquence fondamentale » d’un son.
Plus un son est aigu, plus sa fréquence est élevée.
Les harmoniques du son composé produit par un instrument sont des multiples de la fréquence fondamentale.

Un intervalle en musique, entre deux notes de fréquences respectives f₁ et f₂, avec f₂ supérieure à f₁, est égal au rapport

.
Dans le cas où l’intervalle est égal à :

: l’intervalle est une octave ;
: l’intervalle est une quinte.

Exemple
L’intervalle entre le do de fréquence 261,63 Hz et le do de fréquence 523,25 Hz est égal à

. Il s’agit donc d’une octave.

Une gamme est un ensemble de notes dont les fréquences sont comprises dans un intervalle de fréquences

Exemple de deux gammes en clé de sol

Dans une gamme, le rapport des fréquences entre la dernière note de la gamme et la première est égal à deux. Dans le dessin ci-dessus, dans la gamme 1, la fréquence du dernier do (à droite) est égale à deux fois la fréquence du premier do (à gauche). Il en est de même pour les deux do de la gamme 2.

Remarques

Le rapport des fréquences entre deux mêmes notes appartenant à des gammes successives est égal à 2. Dans le dessin ci-dessous, la fréquence du deuxième mi (659,26 Hz) vaut donc deux fois la fréquence du premier mi (329,63 Hz).
D’après la définition précédente, l’intervalle entre deux mêmes notes appartenant à des gammes successives est donc une octave. Dans le dessin ci-dessous, une octave sépare le premier mi du deuxième.

Exemple de quelques fréquences sur deux gammes successives,
sur deux octaves

2. La construction de la gamme de Pythagore

Dans l’Antiquité, les notes étaient chantées de manière intuitive, sans fondement sérieux si ce n’est la recherche d’une mélodie agréable à l’oreille.
Pythagore, mathématicien grec, a réalisé une étude mathématique de la gamme musicale et créé la gamme qui porte son nom. La quinte a servi de base à sa construction. La gamme de Pythagore compte douze notes et a été utilisée jusqu'au XVII^e siècle.

a. Méthode et exemple de construction de la gamme de Pythagore

On part d’une note de référence de fréquence f₀. On impose que toutes les notes de la gamme construite possèdent une fréquence f comprise dans l’intervalle de fréquences puisque l’objectif est de construire une suite de notes situées sur une octave.
Exemple – Construction d’une gamme à partir du do 261,6 Hz
La limite en fréquence à l’octave est fixée à 2 × 261,6 = 523,2 Hz. L’intervalle de fréquence de l’octave concernée est donc [261,6Hz ; 523,2Hz].
On cherche la fréquence de la note suivante sur le cycle des quintes : et on s’assure que .
Exemple (suite)
On multiplie par la fréquence du do : × 261,6 = 392,4 Hz. On compare cette fréquence trouvée avec la fréquence du do de l’octave : 392,4 Hz < 523,2 Hz. La fréquence trouvée est dans l’intervalle [261,6 Hz ; 523,2 Hz].
On recommence le processus du cycle des quintes à partir de et on s’assure que f₀ ≤ f₂ ≤ 2 × f₀.
Dans le cas où la fréquence trouvée ne se trouve pas dans l’intervalle de fréquences de la gamme, on divise sa valeur par 2 autant de fois qu’il le faut pour que l’on se retrouve dans l’intervalle .

Exemple (suite)
On multiplie par la fréquence précédente trouvée :
× 392,4 = 588,6 Hz.
On compare cette fréquence trouvée avec la fréquence du do de l’octave : 588,6 Hz > 523,2 Hz. La fréquence trouvée n’est pas dans l’intervalle [261,6 Hz ; 523,2 Hz].
On divise donc par 2 cette fréquence de manière à ce que le résultat du calcul soit dans l’intervalle : = 294,3 Hz.
On constate que : 261,6 Hz ≤ 294,3 Hz ≤ 523,2 Hz.
Le processus s’arrête dès que la fréquence obtenue atteint ou approche au plus près la valeur 2 × f₀.
Exemple
Dans le tableau suivant, on répertorie toutes les notes de la gamme qui sont construites à partir du do 261,6 Hz. Les fréquences obtenues dans la 3^e colonne ne sont pas dans l’ordre croissant. Il faut alors les ranger dans l’ordre croissant afin d’obtenir toutes les notes de la gamme dans le bon ordre (4^e colonne).

On constate dans le tableau de l’exemple précédent que la gamme de Pythagore ne « reboucle » pas. En effet, le do du cycle des quintes possède une fréquence (530,4 Hz) qui n’est pas strictement égale à celle du do de l’octave, double de la fréquence du premier do (261,6 Hz) :

530,4 Hz 2 × 261,6 = 523,2 Hz.

La différence entre les deux fréquences est appelée comma. Pour la gamme construite ici : comma = 530,4 – 523,2 = 7,2 Hz.

Remarque
Les cycles de cinq, sept et douze quintes « rebouclent » presque, c’est-à-dire que la fréquence du do final est proche du double de la fréquence du do initial.

b. Formule de la fréquence d'une note et rappels mathématiques sur les nombres rationnels et irrationnels

La formule générale de la fréquence f d’une note de la gamme en fonction de la fréquence de base f₀ est :

avec p et m entiers naturels

Rappels sur les nombres rationnels et irrationnels

Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers.

Nombre	3	0,5	1,5	3,2	7,1
Écriture fractionnaire

Certains nombres à l’écriture décimale périodique infinie sont des nombres rationnels.

Écriture décimale	0,3333333333…	0,6666666…
Écriture fractionnaire

Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers. Il s’écrit sous forme décimale, comme une suite infinie et non périodique de chiffres.

Nombre
Écriture décimale	3,141592654...	1,414213562...

Les fréquences des notes de la gamme de Pythagore s’expriment en fonction de la fréquence de base f₀ multipliée par des nombres rationnels. Par exemple, pour la gamme construite précédemment :

Remarque
La fréquence de base f₀ étant exprimée par un nombre rationnel, toutes les fréquences des notes de la gamme sont aussi exprimées par des nombres rationnels, car le produit de deux nombres rationnels est lui-même un nombre rationnel.

3. La gamme tempérée

a. Utilisation

La gamme de Pythagore présente un inconvénient majeur : l’intervalle entre deux notes d’une octave n’est pas constant.

Intervalles dans la gamme de Pythagore (construite à partir du do 261,6 Hz)

Cela rend difficile la transposition, c’est-à-dire le décalage de toutes les notes d'une mélodie vers l'aigu ou le grave sans changer les intervalles entre les notes. Cette transposition s'effectue soit lors de l'écriture de la partition, soit lors de l'interprétation de la mélodie. Elle est nécessaire lorsque des instruments accompagnent une voix dont la tessiture n’est pas adaptée à l’œuvre originale (voix trop grave ou trop aiguë par rapport à la partition). Elle est aussi employée lorsque plusieurs instruments différents doivent jouer ensemble.

À la fin du XVII^e siècle, une gamme à intervalles égaux (constants) a été adoptée : la gamme tempérée.

b. Construction

La gamme tempérée s’obtient en découpant l’octave en douze intervalles égaux appelés demi-tons.

La gamme tempérée en douze demi-tons