La forme de la Terre

On considère un point M à la surface de la Terre dont on veut connaitre les coordonnées.
Sur le schéma ci-dessous, le point C représente le centre de la Terre.

Latitude λ et longitude α d'un point M à la surface de la Terre La latitude est l’angle formé par (CM) et le plan équatorial.
La longitude est l’angle formé par le plan P₁ incluant (CM) et l’axe de rotation de la Terre, et un plan de référence P₂ qui inclut l’observatoire de Greenwich, en Angleterre.

 

Le méridien est le lieu de tous les points d’égale longitude à la surface de la Terre. Ce sont des cercles de rayon R_T passant par les pôles et dont le centre est celui de la Terre.
Le parallèle est le lieu de tous les points d’égale latitude à la surface de la Terre. Ce sont des cercles parallèles au plan équatorial dont le centre se trouve sur l’axe de rotation de la Terre.

Méridiens et parallèles

 

Ératosthène (284-192 av. J.-C.) serait le premier à avoir réalisé une estimation précise de la circonférence terrestre. Il constate qu’à Syène (aujourd’hui Assouan, en Égypte), le jour du solstice d’été, à midi, au zénith du Soleil, les rayons éclairent le fond des puits. Cela signifie que ces rayons sont à l’exacte perpendiculaire du sol. Au même moment, à Alexandrie, ville située à peu près sur le même méridien, le Soleil n’est plus au zénith et les rayons solaires forment un angle avec la perpendiculaire au sol.

Inclinaison des rayons solaires à la même heure
à Syène et à Alexandrie Ératosthène, en supposant la Terre sphérique et située à une distance infinie du Soleil (ce qui implique que tous les rayons solaires sont parallèles entre eux), obtient une valeur approchée de la circonférence terrestre en réalisant une étude géométrique et des calculs de proportionnalité. Parallélisme des rayons solaires entre eux

On détermine l’angle α à Alexandrie grâce à un gnomon qui permet de mesurer l’ombre portée d’un bâton perpendiculaire au sol :

Gnomon à Alexandrie Ératosthène détermine un angle de l’ordre de ^e de l’angle plein (360°), ce qui correspond à 7,2°.

Afin de mesurer l’arc du méridien joignant Dunkerque à Barcelone, à la fin du XVIII^e siècle, Delambre et Méchain construisent une série d’une centaine de triangles ayant pour sommets des lieux surélevés comme des clochers d’églises, des tours ou des sommets de collines. Ils utilisent la méthode de triangulation afin de calculer tronçon par tronçon la longueur de cette portion de méridien.

La somme des angles d’un triangle
La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.

 

 

Somme des angles d'un triangle La loi des sinus dans un triangle
Le rapport de la valeur du sinus d’un des angles du triangle sur la longueur du côté opposé est une constante pour un triangle donné. Loi des sinus dans un triangle La méthode de triangulation plane
La triangulation plane consiste à déterminer une longueur inaccessible à la mesure à l’aide d’une chaine de triangles dont on mesure les angles et dont la longueur de l’un des côtés est connue. On considère un segment de méridien [A₁A₅] dont la longueur n’est pas mesurable directement. On construit autant de triangles que nécessaire pour couvrir tout le segment. Triangulation d'un segment de méridien A₁A₅ Dans l’exemple ci-dessus, la triangulation s’effectue avec quatre triangles et les longueurs seront calculées à partir de mesures dans ces triangles. La longueur A₁C est mesurée : c’est la base. La longueur du segment de méridien est obtenue en additionnant chacune des longueurs obtenues par triangulation : 
A₁A₅= A₁A₂+ A₂A₃+ A₃A₄+ A₄A₅.

 

 

Étape 1 : calcul de la longueur A₁A₂
On se place au point C d’où l’on peut mesurer expérimentalement l’angle  et l’angle α. L’angle α  et l’angle   sont alternes-internes, donc égaux.
On calcule l’angle  : .
On applique la loi des sinus pour calculer A₁A₂ :

Étape 2 : calcul de la longueur A₂A₃
On se place au point B d’où l’on peut mesurer expérimentalement les angles ,  et l’angle β.
L’angle β et l’angle  sont alternes-internes, donc égaux. On calcule les grandeurs nécessaires pour la poursuite du calcul : CA₂ et CB qui servira de nouvelle base.
 

L’angle β +  et l’angle  sont alternes-internes, donc égaux.
On calcule l’angle  : .
On applique la loi des sinus pour calculer A₂A₃ :
Les étapes suivantes pour calculer A₃A₄ et A₄A₅ se font sur le même schéma.

Si on connait la longueur totale d’un méridien (ce qui correspond à un angle de 180°, soit π radians), le rayon terrestre s’exprime par :
.

Si on connait la longueur d’une portion de méridien entre deux points de latitudes respectives λ₂ et λ₁, avec λ₂> λ₁ (ce qui correspond à un angle égal à Δλ = λ₂ – λ₁ radians), le rayon terrestre s’exprime par :
 avec Δλ = λ₂– λ_1.

 

Illustration du lien entre la longueur d'une portion de méridien et le rayon terrestre

 

Si on admet que la longueur L d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle α qui l’intercepte, la connaissance du rayon terrestre permet de déterminer la longueur d’un arc de méridien ou de parallèle.

Pour un arc de méridien entre deux points de latitudes respectives λ₂ et λ₁, avec λ₂> λ₁ (ce qui correspond à un angle égal à Δλ = λ₂– λ₁ radians) :
 avec Δλ = λ₂– λ₁.

Pour un arc de parallèle, associé à une latitude λ, entre deux points de longitudes respectives α₂ et α₁, avec α₂> α₁ (ce qui correspond à un angle égal à Δα = α₂– α₁ radians), on admet la formule suivante :
 avec Δα = α₂– α₁.

 

Longueur d'un arc de parallèle