La forme de la Terre - Maxicours

La forme de la Terre

Objectifs
  • Calculer la longueur du méridien terrestre par la méthode d’Ératosthène.
  • Calculer une longueur par la méthode de triangulation utilisée par Delambre et Méchain.
  • Calculer le rayon de la Terre à partir de la longueur du méridien.
  • Calculer la longueur d’un arc de méridien et d’un arc de parallèle.
  • Comparer, à l’aide d’un système d’information géographique, les longueurs de différents chemins reliant deux points à la surface de la Terre.
Points clés
  • Dès l’Antiquité, des observations de différentes natures permettent de conclure que la Terre est sphérique, alors même que, localement, elle apparait plane dans la plupart des expériences quotidiennes.
  • Historiquement, des méthodes géométriques permettent de calculer la longueur d’un méridien (environ 40 000 km) à partir de mesures d’angles ou de longueurs : méthodes d’Ératosthène et de triangulation plane.
  • On repère un point à la surface de la Terre par deux coordonnées angulaires, sa latitude et sa longitude.
  • Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre est l’arc du grand cercle qui les relie.
Pour bien comprendre
  • On admet que la longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle qui l’intercepte.
  • Le repérage sur une sphère est remobilisé.
1. La forme de la Terre
Dès l’Antiquité, des observations de différentes natures permettent de conclure que la Terre est sphérique, alors même que, localement, elle apparait plane dans la plupart des expériences quotidiennes.

 

La Terre assimilée à une sphère
On peut définir les grandeurs suivantes associées à la Terre :

 

  • son diamètre : DT =× RT;
  • sa surface : S=× π × RT2;
  • son volume : .

Le volume est en mètre cube, la surface en mètre carré et les longueurs en mètre. La forme réelle de la Terre se rapproche d’un ellipsoïde de révolution autour de l’axe passant par ses pôles. Mais cette représentation ne correspond pas tout à fait à sa forme réelle. 

Formes théoriques et forme réelle de la Terre
Sur le dessin de la « forme réelle » ci-dessus, on observe que la surface de la Terre est plus proche du centre de la Terre au niveau des pôles que de l’équateur. La différence entre le rayon polaire et le rayon équatorial est de 22 kilomètres environ.

 

2. Se repérer sur la Terre
a. Les coordonnées angulaires : latitude et longitude
La position d’un point à la surface de la Terre est donnée par deux coordonnées angulaires : sa latitude et sa longitude.

On considère un point M à la surface de la Terre dont on veut connaitre les coordonnées.
Sur le schéma ci-dessous, le point C représente le centre de la Terre.

Latitude λ et longitude α d'un point M à la surface de la Terre
La latitude est l’angle formé par (CM) et le plan équatorial.
La longitude est l’angle formé par le plan P1 incluant (CM) et l’axe de rotation de la Terre, et un plan de référence P2 qui inclut l’observatoire de Greenwich, en Angleterre.

 

Remarque
Le méridien de Greenwich a été choisi comme méridien origine en 1884, au détriment de celui de Paris.
Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre est l’arc du grand cercle qui les relie.
La plus courte distance (en vert foncé) entre les points M et N 
b. Méridiens et parallèles

Le méridien est le lieu de tous les points d’égale longitude à la surface de la Terre. Ce sont des cercles de rayon RT passant par les pôles et dont le centre est celui de la Terre.
Le parallèle est le lieu de tous les points d’égale latitude à la surface de la Terre. Ce sont des cercles parallèles au plan équatorial dont le centre se trouve sur l’axe de rotation de la Terre.

Méridiens et parallèles

 

3. Les méthodes pour mesurer la Terre

Depuis l’Antiquité, différentes méthodes ont été mises au point afin de mesurer des longueurs associées à la Terre : circonférence, longueur de méridien, arc de parallèle...

a. La mesure de la circonférence de la Terre (Ératosthène)
Les observations historiques d’Ératosthène

Ératosthène (284-192 av. J.-C.) serait le premier à avoir réalisé une estimation précise de la circonférence terrestre. Il constate qu’à Syène (aujourd’hui Assouan, en Égypte), le jour du solstice d’été, à midi, au zénith du Soleil, les rayons éclairent le fond des puits. Cela signifie que ces rayons sont à l’exacte perpendiculaire du sol. Au même moment, à Alexandrie, ville située à peu près sur le même méridien, le Soleil n’est plus au zénith et les rayons solaires forment un angle avec la perpendiculaire au sol.

Inclinaison des rayons solaires à la même heure
à Syène et à Alexandrie
Ératosthène, en supposant la Terre sphérique et située à une distance infinie du Soleil (ce qui implique que tous les rayons solaires sont parallèles entre eux), obtient une valeur approchée de la circonférence terrestre en réalisant une étude géométrique et des calculs de proportionnalité.
Parallélisme des rayons solaires entre eux
Les calculs d'Ératosthène

On détermine l’angle α à Alexandrie grâce à un gnomon qui permet de mesurer l’ombre portée d’un bâton perpendiculaire au sol :

Gnomon à Alexandrie
Ératosthène détermine un angle de l’ordre de e de l’angle plein (360°), ce qui correspond à 7,2°.
Remarque
Dans le triangle rectangle formé par le gnomon, l’ombre portée et le rayon solaire, on peut calculer l’angle α grâce à une relation trigonométrique dans le triangle rectangle : 
b. Calculer une longueur par la méthode de triangulation (Delambre et Méchain)
La démarche de Delambre et Méchain

Afin de mesurer l’arc du méridien joignant Dunkerque à Barcelone, à la fin du XVIIIe siècle, Delambre et Méchain construisent une série d’une centaine de triangles ayant pour sommets des lieux surélevés comme des clochers d’églises, des tours ou des sommets de collines. Ils utilisent la méthode de triangulation afin de calculer tronçon par tronçon la longueur de cette portion de méridien.

Les résultats mathématiques utilisés

La somme des angles d’un triangle
La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.

 

 

Somme des angles d'un triangle
La loi des sinus dans un triangle
Le rapport de la valeur du sinus d’un des angles du triangle sur la longueur du côté opposé est une constante pour un triangle donné.
Loi des sinus dans un triangle
La méthode de triangulation plane
La triangulation plane consiste à déterminer une longueur inaccessible à la mesure à l’aide d’une chaine de triangles dont on mesure les angles et dont la longueur de l’un des côtés est connue. On considère un segment de méridien [A1A5] dont la longueur n’est pas mesurable directement. On construit autant de triangles que nécessaire pour couvrir tout le segment.
Triangulation d'un segment de méridien A1A5
Dans l’exemple ci-dessus, la triangulation s’effectue avec quatre triangles et les longueurs seront calculées à partir de mesures dans ces triangles. La longueur A1C est mesurée : c’est la base. La longueur du segment de méridien est obtenue en additionnant chacune des longueurs obtenues par triangulation : 
A1A5= A1A2+ A2A3+ A3A4+ A4A5.

 

 

Étape 1 : calcul de la longueur A1A2
On se place au point C d’où l’on peut mesurer expérimentalement l’angle  et l’angle α. L’angle α  et l’angle   sont alternes-internes, donc égaux.
On calcule l’angle  : .
On applique la loi des sinus pour calculer A1A2 :

Étape 2 : calcul de la longueur A2A3
On se place au point B d’où l’on peut mesurer expérimentalement les angles  et l’angle β.
L’angle β et l’angle  sont alternes-internes, donc égaux. On calcule les grandeurs nécessaires pour la poursuite du calcul : CA2 et CB qui servira de nouvelle base.
 

L’angle β  et l’angle  sont alternes-internes, donc égaux.
On calcule l’angle  : .
On applique la loi des sinus pour calculer A2A3 :
Les étapes suivantes pour calculer A3A4 et A4A5 se font sur le même schéma.

Remarque
Les sommets des triangles visés par Delambre et Méchain n’étaient pas situés à la même hauteur : les triangles utilisés étaient donc inclinés par rapport à l’horizontale. Delambre et Méchain ont mesuré l’angle que formait chaque triangle incliné avec la verticale pour le ramener à l’horizontale.
c. Calculer le rayon terrestre et une longueur d'arc
Détermination du rayon terrestre
Si on admet que la longueur L d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle α qui l’intercepte (voir plus haut, « rappel mathématique : arc de cercle »), la connaissance de la longueur d’un méridien (ou d’une portion de méridien) permet de déterminer le rayon terrestre.
Illustration de la relation de proportionnalité entre L et α
Remarque
Dans cette relation, les longueurs sont en mètre ou en kilomètre et l’angle est en radian (360° = 2π rad).

Si on connait la longueur totale d’un méridien (ce qui correspond à un angle de 180°, soit π radians), le rayon terrestre s’exprime par :
.

Si on connait la longueur d’une portion de méridien entre deux points de latitudes respectives λ2 et λ1, avec λ2> λ1 (ce qui correspond à un angle égal à Δλ = λ λ1 radians), le rayon terrestre s’exprime par :
 avec Δλ = λ2 λ1.

 

Illustration du lien entre la longueur d'une portion de méridien et le rayon terrestre

 

Longueur d’un arc de méridien ou de parallèle

Si on admet que la longueur L d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle α qui l’intercepte, la connaissance du rayon terrestre permet de déterminer la longueur d’un arc de méridien ou de parallèle.

Pour un arc de méridien entre deux points de latitudes respectives λ2 et λ1, avec λ2> λ1 (ce qui correspond à un angle égal à Δλ = λ2 λ1 radians) :
 avec Δλλ2 λ1.

Pour un arc de parallèle, associé à une latitude λ, entre deux points de longitudes respectives α2 et α1, avec α2> α1 (ce qui correspond à un angle égal à Δα = α2 α1 radians), on admet la formule suivante :
 avec Δαα2– α1.

 

Longueur d'un arc de parallèle

 

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Des profs en ligne

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent