Tangente à la courbe d'une fonction en un point
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On appelle (C) sa courbe dans un repère orthogonal.
.En posant
et
pour
h non nul, ce coefficient directeur s'écrit
, et
on reconnait ici le taux d'accroissement de f entre
a et a + h.
correspondant au coefficient directeur de « la
position limite » de ces sécantes.
.
Sur la courbe ci-dessous, déterminer f '(–1), f '(0) puis f '(–2).
Rappel : le nombre dérivé de f en a correspond au coefficient directeur de la tangente en A(a, f(a)).
En ce qui concerne f '(–1), on se place au point A d'abscisse (–1). La tangente y est horizontale, symbolisée par une double flèche. Cela signifie que le nombre dérivé en a = –1 est nul, autrement dit f '(–1) = 0.
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B.
Pour cela, on peut :
• lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur
.Ainsi, f '(0) = –1,5.
• En partant de A, on décale de 1 unité en abscisse et on décale de 1,5 unités en ordonnée en descendant. Ainsi, f '(0) = –1,5.
De la même façon que ci-dessus, en décalant de 1 unité en abscisse à partir du point d'abscisse (–2), on rejoint la droite en décalant de 4,5 unités en montant. Ainsi, f '(–2) = 4,5.
La tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)) a pour équation
Preuve :
La tangente (T) au point A a pour équation y = mx + p et a pour coefficient directeur f '(a).
En remplaçant, (T) : y = f '(a)x + p.
Le point A(a, f(a)) appartient à cette tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de (T) soit
, ce qui donne 
.Ainsi, en réinjectant dans l'équation de (T) on obtient ce qui se retient sous la forme
.Application :
Écrire une équation de la tangente (T) à la courbe de f au point A(1,–3) sachant que f '(1) = 2.
La propriété ci-dessus permet d'affirmer que (T) a pour équation
.Dans le cas présent a = 1, f(1) = –3 et f '(1) = 2.
Ainsi, (T) a pour équation
soit y = 2x – 5.
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