Rappels sur les suites numériques : opérations sur les limites

On dispose des six propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6
Si lim(un) =	L	L	L
et si lim(vn) =	L'
alors lim(un + vn) =	L + L'					?

Pour tout entier naturel n, on pose s_n = n² + n et t_n = n² – n. Étudier la limite de ces deux suites.

On dispose des propositions suivantes :

• (n² → + ∞ et n → + ∞)(u_n → + ∞), il s’agit de l’application des exemples usuels connus et de la proposition 4 de la propriété 1.

• (t_n = n² + (–n)  et  n² → + ∞  et  –n → – ∞) (v_n → ?), il y a une F.I. par application de la proposition 6 de la propriété 1. On va devoir écrire t_n autrement, mais il faut avant connaitre la propriété 2… un peu de patience donc !

On dispose des neuf propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Si lim(un) =	L	L > 0	L < 0	L > 0	L < 0				0
et si lim(vn) =	L'								±∞
alors lim(un × vn) =	L × L'								?

Pour tout entier naturel n, on pose p_n = –3 n²,  t_n = n²– n et . Étudier la limite de ces trois suites.

On dispose des propositions suivantes :

• (–3 → –3  et  n² → + ∞)(p_n → – ∞), il s’agit de l’application des exemples usuels (avec –3 suite constante) et de la proposition 3 de la propriété 2.
• On a vu au 1) qu’on a une F.I. pour t_n ; on va donc transformer l’écriture de t_n.

t_n = n(n – 1) = n(n + (–1)) ; on a tout simplement mis en facteur.

(n → + ∞  et  (–1) → (–1))(n + (–1)) → + ∞ par application de la proposition 2 de la propriété 1.
(n → + ∞  et  (n + (–1)) → + ∞) (n(n – 1) = t_n → + ∞), il s’agit de l’application de la proposition 6 de la propriété 2. On a donc « levé » la F.I. de t_n.

• .

On montre avec la propriété 1 que (n² + 1 → + ∞) et on sait que .

Donc , d’après la proposition 9 de la propriété 2 (on répète ici le danger du zéro qui entraine souvent le réflexe multiplicatif d’écrire 0 comme limite pour r_n.
Or, on ne multiplie pas ici par 0, mais par une quantité proche de 0.

On doit donc « lever » la F.I., on transforme l'écriture de r_n :

et , donc r_n → + ∞ par application de la proposition 2 de la propriété 1.

Pour tout ce paragraphe, v est une suite numérique telle que pour tout entier naturel n, v_n ≠ 0.
Par contre attention, lim(v_n) peut être nulle.
On va d’ailleurs séparer les cas par rapport à cette possibilité.

On suppose ici que lim (v_n) ≠ 0.
On dispose des huit propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6	7	8
Si lim(un) =	L	L	0					±∞
et si lim(vn) =	L'	±∞	L' ou ±∞	L' > 0	L' < 0	L' > 0	L' < 0	±∞
alors lim(un / vn) =	L / L'	0	0					?

On suppose ici que lim(v_n) = 0.
On démontre et on admet ici que dans ce cas v_n > 0 ou v_n < 0 à partir d’un certain rang, autrement dit que v_n garde un signe constant à partir d’un certain rang.
On s’autorise parfois la notation v_n → 0⁺ pour dire que v_n > 0 à partir d’un certain rang ou v_n → 0^– pour dire que v_n < 0 à partir d’un certain rang.
C’est ce que l’on fera dans le tableau par souci de commodité d’écriture.

On dispose ainsi des neuf propositions suivantes :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Si lim(un) =	L > 0	L < 0			L > 0	L < 0			0
et si lim(vn) = 0	0+	0+	0+	0+	0–	0–	0–	0–	0
alors lim(un / vn) =									?

Pour tout entier naturel n, on pose et . Étudier la limite de ces deux suites.

On dispose des propositions suivantes :

• (5 → 5  et  n³ → + ∞) (k_n → 0), il s’agit de l’application des exemples usuels et de la proposition 2 de la propriété 3.

• On démontre avec la propriété 1 que (n + 2 → + ∞)  et 
  (–n² + 1 → – ∞), donc (a_n → ?) d’après la proposition 7 de la propriété 3.

On doit donc lever la F.I., pour cela, on transforme l'expression de a_n en factorisant par n.
Pour n non nul, on obtient : .
Or, et –n → – ∞, donc on montre facilement avec les différentes propriétés calculatoires que et .
Finalement, a_n → 0 d’après la proposition 2 de la propriété 3.