Petit théorème de Fermat
On a :


Preuve
Utilisons la formule du binôme :

Or, étant donné un entier


on trouve que


Or, p est premier avec k! puisqu'on a

Donc, d'après le théorème de Gauss, p divise


Cela implique :


Remarque
Ce théorème a été énoncé en 1640 puis démontré en 1683 par Leibniz et de nouveau démontré par Euler en 1736.
Preuve
Nous allons démontrer ce théorème par récurrence sur l'entier a. Pour cela, fixons un nombre premier p et raisonnons modulo p.
Soit Pa la phrase "

Pour a = 0, on a bien

Soit a un entier naturel quelconque. Supposons que Pa soit vraie et démontrons Pa+1 :


On en déduit que

Bilan : Pa est vraie pour tout entier naturel a et p quelconque.
Alors :

Preuve
D'après le théorème précédent, on sait que p divise


Ne divisant pas a, p est premier avec a. D'après le théorème de Gauss p divise


Remarque
Le petit théorème de Fermat et son corollaire sont à la source de certaines méthodes de cryptographie, notamment la méthode RSA (initiales des inventeurs : Ronald Rivest, Ali Shamir et Leonard Adleman dans les années 1970) et la méthode de Tahar El Gamal, au milieu des années 1980.

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