Introduction aux matrices
Objectif(s)
• Introduire la notion de matrice grâce à
l’étude d’un exemple simple.
• Mener les premières opérations sur les matrices.
• Mener les premières opérations sur les matrices.
Quatre élèves d’une classe de seconde font
le point sur leurs résultats scolaires à
l’issue du deuxième trimestre.
Souhaitant se diriger vers un bac scientifique, ils regardent plus particulièrement leurs notes en Mathématiques (M), Sciences Physiques (SP) et Sciences de la Vie et de la Terre (SVT).
Souhaitant se diriger vers un bac scientifique, ils regardent plus particulièrement leurs notes en Mathématiques (M), Sciences Physiques (SP) et Sciences de la Vie et de la Terre (SVT).
Voici leurs notes au premier trimestre :
|
M |
SP | SVT | |
| Rosalie | 16,3 | 15,2 | 9,8 |
| Natacha | 13,8 | 14,4 | 15 |
| Medhi | 15,1 | 10,3 | 12,6 |
| David | 10 | 9,4 | 17,2 |
Et celles au second trimestre :
| M | SP | SVT | |
| Rosalie | 16,5 | 14,1 | 12,4 |
| Natacha | 15 | 12,6 | 17,4 |
| Medhi | 17,3 | 10,2 | 13,3 |
| David | 10,3 | 11,5 | 18 |
1. Une première définition
Si l’on veut faire des calculs avec ces notes, il est
intéressant de les regrouper dans un tableau de
nombres que l’on appelle matrice.
Une matrice est un
tableau de nombres à double entrée,
que l’on note souvent par une lettre majuscule.
Soient A représentant la matrice du premier
trimestre et B, la matrice du second.
Les lignes représentent les notes des élèves tandis que les colonnes représentent les matières.
Les lignes représentent les notes des élèves tandis que les colonnes représentent les matières.
2. Les indicateurs des matrices
Les matrices A et B disposent de 4 lignes et
de 3 colonnes.
Pour identifier l’un des coefficients, on utilise souvent le même principe de notation que celui utilisé pour les suites numériques, à savoir une lettre minuscule (celle du nom de la matrice) affectée non pas d’un, mais de deux indices.
Le premier est appelé indice de ligne tandis que le second, indice de colonne.
Le coefficient de la première ligne et de la troisième colonne est a1,3 ainsi dans notre cas cela correspond à la note 9,8. C'est la note de Rosalie en SVT au premier trimestre.
On dit que A et B sont des matrices de
format (4 ; 3) ou encore de dimension 4
× 3.
Elles contiennent chacune 12 nombres, appelés éléments ou coefficients.
Elles contiennent chacune 12 nombres, appelés éléments ou coefficients.
Pour identifier l’un des coefficients, on utilise souvent le même principe de notation que celui utilisé pour les suites numériques, à savoir une lettre minuscule (celle du nom de la matrice) affectée non pas d’un, mais de deux indices.
Le premier est appelé indice de ligne tandis que le second, indice de colonne.
Ainsi pour la matrice A, on écrira :
Le coefficient de la première ligne et de la troisième colonne est a1,3 ainsi dans notre cas cela correspond à la note 9,8. C'est la note de Rosalie en SVT au premier trimestre.
En résumé, une matrice A est un
tableau de nombres dont le nombre de lignes et de
colonnes définissent ce que l’on appelle la
dimension de la matrice.
Chacun des nombres composant une matrice est appelé coefficient.
On utilise un couple d’entiers, par exemple le couple (i ; j), pour définir le numéro de la ligne et celui de la colonne. Ce couple représente les indices du coefficient, le premier représentant la ligne et le second la colonne.
Ainsi dans notre cas, on écrit A = (ai,j) avec (i,j), couple d’entiers tels que i
{1,2,3,4} et j 
{1,2,3}. On note (i ;
j) 
{1,2,3,4} × {1,2,3}.
Chacun des nombres composant une matrice est appelé coefficient.
On utilise un couple d’entiers, par exemple le couple (i ; j), pour définir le numéro de la ligne et celui de la colonne. Ce couple représente les indices du coefficient, le premier représentant la ligne et le second la colonne.
Ainsi dans notre cas, on écrit A = (ai,j) avec (i,j), couple d’entiers tels que i
{1,2,3,4} et j {1,2,3}. On note (i ;
j) {1,2,3,4} × {1,2,3}.
3. Des matrices dans la matrice
Les notes de Medhi au deuxième trimestre constituent
la troisième ligne de la matrice B. Donc
cette ligne est elle-même une matrice de dimension 1
× 3 : 
De la même manière, les notes de Mathématiques du premier trimestre des quatre élèves constituent la première colonne de la matrice A. Cette colonne définit une matrice de dimension 4 × 1 :
On dit que c’est une matrice ligne (ou
vecteur ligne) de dimension 1 × 3.
De la même manière, les notes de Mathématiques du premier trimestre des quatre élèves constituent la première colonne de la matrice A. Cette colonne définit une matrice de dimension 4 × 1 :
On dit que c’est une matrice colonne (ou un
vecteur-colonne) de dimension 4 × 1.
4. Premiers calculs matriciels
Les quatre élèves décident de calculer
leurs moyennes des deux premiers trimestres. Voulant
améliorer leurs résultats, ils
décident de s’abonner à un site de
soutien scolaire en ligne.
Ils envisagent d’augmenter chacun leurs notes du dernier trimestre de 10 % par rapport à leurs moyennes des deux premiers trimestres.
Soit M la matrice représentant la moyenne des notes des deux premiers trimestres.
On a : A = (ai,j) , B = (bi,j) et M = (mi,j) avec (i,j)
{1,2,3,4} × {1,2,3}.
Par définition de la moyenne, on obtient : mi,j = (ai,j + bi,j) / 2 = 0,5
(ai,j
+ bi,j).
Ainsi, on calcule la matrice somme A + B et M = 0,5
(A + B).
Soit C la matrice souhaitée par les
élèves pour le dernier trimestre. Chacun des
12 coefficients de la matrice M doit subir une
augmentation de 10 %.
On note C = 1,1 × M et pour tout couple (i,j)
{1,2,3,4} × {1,2,3} on a :
ci,j = 1,1
mi,j.
Ainsi,
Ils envisagent d’augmenter chacun leurs notes du dernier trimestre de 10 % par rapport à leurs moyennes des deux premiers trimestres.
Soit M la matrice représentant la moyenne des notes des deux premiers trimestres.
On a : A = (ai,j) , B = (bi,j) et M = (mi,j) avec (i,j)
{1,2,3,4} × {1,2,3}.Par définition de la moyenne, on obtient : mi,j = (ai,j + bi,j) / 2 = 0,5
(ai,j
+ bi,j).Ainsi, on calcule la matrice somme A + B et M = 0,5
(A + B).
On note C = 1,1 × M et pour tout couple (i,j)
{1,2,3,4} × {1,2,3} on a :
ci,j = 1,1mi,j.Ainsi,
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