Matrices et opérations
Objectif(s)
Donner les définitions définitives concernant
les matrices.
Définir les opérations sur les matrices.
Définir les opérations sur les matrices.
1. Définitions, vocabulaires et notations
a. Définition 1 : matrice
Soit (m, n) un couple d’entiers
naturels non nuls.
On appelle matrice de dimension m × n (on ne calcule pas la valeur de ce produit ) ou de format (m ; n), tout tableau rectangulaire de m × n nombres, appelés coefficients de la matrice.
Ces coefficients sont disposés sur m lignes et n colonnes.
On appelle matrice de dimension m × n (on ne calcule pas la valeur de ce produit ) ou de format (m ; n), tout tableau rectangulaire de m × n nombres, appelés coefficients de la matrice.
Ces coefficients sont disposés sur m lignes et n colonnes.
On note une matrice par une lettre majuscule et ses coefficients par la même lettre minuscule à laquelle on affecte deux indices, le premier représentant le numéro de la ligne et le second représentant le numéro de la colonne.
Par exemple, on écrit :
On peut aussi écrire : A = (ai,j) avec (i,j) couple d’entiers vérifiant 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.
Le coefficient général ai,j est le nombre situé à l’intersection de la i-ième ligne et la j-ième colonne.
b. Définition 2 : matrices
particulières
• La matrice
nulle est la matrice dont tous les
coefficients sont nuls. On la note 0.
• La matrice (ai,1, ai,2, …, ai,n) est la matrice ligne de rang i de la matrice A ; on l’appelle encore vecteur ligne de rang i.
• La matrice colonne de rang j de la matrice A est aussi appelée vecteur colonne de rang j.
On la note :
.
• La matrice (ai,1, ai,2, …, ai,n) est la matrice ligne de rang i de la matrice A ; on l’appelle encore vecteur ligne de rang i.
• La matrice colonne de rang j de la matrice A est aussi appelée vecteur colonne de rang j.
On la note :
.
c. Définition 3 : égalité de
deux matrices
On dit que deux matrices A et B
sont égales lorsqu’elles ont la
même dimension et pour tout couple (i,
j), on dispose de l’égalité
ai,j
= bi,j. Ainsi, on note
A = B.
Remarque
Si A et B ne sont pas égales alors soit elles n’ont pas la même dimension soit il existe un couple (i,j) pour lequel ai,j ≠ bi,j. On note A ≠ B.
2. Addiction matricielle : multiplication d'une matrice
par un nombre
a. Addition de deux matrices
Pour tout couple (A, B) de matrices de
même dimension m × n, on
appelle addition ou somme
de A et de B, et l’on note
A + B, la matrice S de
dimension m × n
vérifiant
si,j =
ai,j +
bi,j,
pour tout couple (i ; j) tels que
1 ≤ i ≤ m et
1 ≤ j ≤ n.
Remarque
A + B = B + A.
b. Multiplication d'une matrice par un nombre
Soit A une matrice de dimension m ×
n.
Pour tout réel k, la matrice de coefficient général k × ai,j est la matrice dont tous les coefficients de la matrice A ont été multipliés par le nombre k.
Cette nouvelle matrice est de dimension m × n et on la note kA.
Exemple :Pour tout réel k, la matrice de coefficient général k × ai,j est la matrice dont tous les coefficients de la matrice A ont été multipliés par le nombre k.
Cette nouvelle matrice est de dimension m × n et on la note kA.
Soient
.Calculer C = A + 2B.
Remarque
A + (–1)B se note A – B et B + (–B) = 0.
3. Multiplication de deux matrices
Cette opération est un peu plus compliquée
à définir.
On va donc commencer par deux exemples formateurs.
• Exemple 1 :
Soient
. A est de dimension 1
× 2 et B, de dimension 2 × 1.
On peut multiplier A par B.
A a autant de colonnes que B a de lignes. On obtient donc une matrice de dimension 1 × 1 que l'on note A × B ou AB.
On procède ainsi :
.
• Exemple 2 :
Soient
. A est de dimension 2
× 3 et B, 3 × 2.
On peut multiplier A par B.
A a autant de colonnes que B a de lignes. On obtient donc une matrice de dimension 2 × 2.
Posons P la matrice produit AB et détaillons le calcul de chacun de ses coefficients.
pi,j se calcule à l’aide du vecteur ligne de rang i de A et le vecteur colonne de rang j de B.
On procède alors comme dans l’exemple 1 :
Donc : P = AB =
.
Pour calculer AB, on aurait pu placer les matrices comme ci-dessous :
.
Remarques
La calculatrice et des logiciels spécifiques pourront vous aider à calculer ces produits, surtout quand les dimensions sont « grandes ».
Il faut faire très attention aux dimensions.
On va donc commencer par deux exemples formateurs.
• Exemple 1 :
Soient
. A est de dimension 1
× 2 et B, de dimension 2 × 1.On peut multiplier A par B.
A a autant de colonnes que B a de lignes. On obtient donc une matrice de dimension 1 × 1 que l'on note A × B ou AB.
On procède ainsi :
.• Exemple 2 :
Soient
. A est de dimension 2
× 3 et B, 3 × 2.On peut multiplier A par B.
A a autant de colonnes que B a de lignes. On obtient donc une matrice de dimension 2 × 2.
Posons P la matrice produit AB et détaillons le calcul de chacun de ses coefficients.
pi,j se calcule à l’aide du vecteur ligne de rang i de A et le vecteur colonne de rang j de B.
On procède alors comme dans l’exemple 1 :
Donc : P = AB =
.Pour calculer AB, on aurait pu placer les matrices comme ci-dessous :
Soit A une matrice de dimension m ×
n.
Soit B une matrice de dimension n × p.
Soit B une matrice de dimension n × p.
La multiplication de la matrice A à
n colonnes, par la matrice B à
n lignes, est la matrice produit
P, notée A
× B ou plus simplement
AB.
C’est une matrice de dimension m × p et de coefficient général, défini à l’aide du vecteur ligne de rang i de A et du vecteur colonne de rang j de B, est égal à :
C’est une matrice de dimension m × p et de coefficient général, défini à l’aide du vecteur ligne de rang i de A et du vecteur colonne de rang j de B, est égal à :
.
Remarques
La calculatrice et des logiciels spécifiques pourront vous aider à calculer ces produits, surtout quand les dimensions sont « grandes ».
Il faut faire très attention aux dimensions.
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