Dérivées des fonctions sinus et cosinus - Maxicours

Dérivées des fonctions sinus et cosinus

Objectif(s)
Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions sinus et cosinus.

1. Quelques résultats utiles
L’aire d’un secteur circulaire de rayon R et d’angle au centre α en radians est égale à .
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)

• On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche :


Pour 0 < x < , on utilise le théorème de Thalès dans le triangle OIT.

On obtient : car CM = OS et donc IT =  = tan(x).

On constate aussi que le triangle OIM est inclu dans le secteur circulaire IOM inclus lui-même dans le triangle OIT.

Donc en utilisant les aires, on obtient :
, soit sin(x) ≤ x ≤ car OI = 1.

En inversant, on obtient : .

Soit : cos(x) ≤ ≤ 1 car sin(x) > 0 pour 0 < x < .

De plus, cos(-x) = cos(x) et  donc : cos(-x) ≤ ≤ 1.

Ainsi, .


Définition de la dérivabilité d'une fonction f en a.

Soit h un réel non nul, on pose : tf(h) = .

tf(h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant : . On note L = f ’(a).

2. Continuité des fonctions sinus et cosinus
a. Théorème 1
Les fonctions cosinus et sinus sont continues en 0.

Preuve


Fonction sinus

Pour 0 < x <
, on a : 0 < sin(x) ≤ x.

Donc pour < x < 0, on a : 0 < sin(-x) ≤ -x.

Soit : x ≤ sin(x) < 0.

Or d’après le théorème d’encadrement : et  .

Or sin(0) = O, donc : .

La fonction sinus est continue en 0.


• On fait de même pour la fonction cosinus.

cos(x) = cos() = 1 – 2sin²()

donc .

Or cos(0) = 1, donc : .

La fonction cosinus est continue sur 0.
b. Théorème 2
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur .
3. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus
a. Dérivabilité en 0
Fonction sinus

Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est : tsin(x) = .

On a vu au 1) que l’on a : cos(x) ≤ ≤ 1 pour et que .

Donc d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que : .

Ainsi : et donc sin ’ (0) = 1.

La fonction sinus est dérivable en 0 et sin' (0) = 1.

Et : .

Fonction cosinus

Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est : .

On a vu au 2) que l'on a : .

Donc : .

donc : et .

Ainsi, et cos(0) ' = 0.

La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos' (0) = 0.

Et : .
b. Dérivabilité sur R
Fonction sinus

Soit (a ; h) un couple de réels tel que .

Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a+h est donné par : .

On utilise la formule : .

Donc : .

Et : .


• On procède de la même façon avec la fonction cosinus et .

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et pour tout réel x, on a :

.

Remarque : .

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