Dérivées des fonctions sinus et cosinus
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
.
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)
• On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche :
Pour 0 < x <
, on utilise le
théorème de Thalès dans le triangle
OIT.On obtient :
car CM = OS et donc
IT = 
= tan(x).On constate aussi que le triangle OIM est inclu dans le secteur circulaire IOM inclus lui-même dans le triangle OIT.
Donc en utilisant les aires, on obtient :
, soit sin(x) ≤ x ≤ 
car OI = 1.En inversant, on obtient :
.Soit : cos(x) ≤
≤ 1 car sin(x) > 0 pour 0
< x < 
.De plus, cos(-x) = cos(x) et
donc : cos(-x) ≤ 
≤ 1.Ainsi,
.• Définition de la dérivabilité d'une fonction f en a.
.tf(h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant :
.
On note L = f ’(a).
Preuve
• Fonction sinus
Pour 0 < x <
, on a : 0 < sin(x)
≤ x.Donc pour
< x < 0, on a : 0 <
sin(-x) ≤ -x.Soit : x ≤ sin(x) < 0.
et 
.
Or sin(0) = O, donc :
.La fonction sinus est continue en 0.
• On fait de même pour la fonction cosinus.
cos(x) = cos(
) = 1 –
2sin²(
)
donc 
.Or cos(0) = 1, donc :
.La fonction cosinus est continue sur 0.
.
Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est : tsin(x) =
.On a vu au 1) que l’on a : cos(x) ≤
≤ 1 pour 
et que 
.Donc d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que :
.Ainsi :
et
donc sin ’ (0) = 1.Et :
.
• Fonction cosinus
Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est :
.On a vu au 2) que l'on a :
.Donc :
.
donc : 
et 
.Ainsi,
et cos(0) ' = 0.Et :
.
Soit (a ; h) un couple de réels tel que
.Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a+h est donné par :
.
.
Donc :
.Et :
.• On procède de la même façon avec la fonction cosinus et
.
et pour tout réel x, on a :
.Remarque :
.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Fermer
Accédez gratuitement à
