Dérivées des fonctions sinus et cosinus
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Objectif(s)
Étudier la continuité et la
dérivabilité des fonctions sinus et
cosinus.
1. Quelques résultats utiles
L’aire d’un secteur circulaire de rayon R et
d’angle au centre α en radians est
égale à 
.
.
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)
• On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche :
Pour 0 < x <
, on utilise le
théorème de Thalès dans le triangle
OIT.On obtient :
car CM = OS et donc
IT = 
= tan(x).On constate aussi que le triangle OIM est inclu dans le secteur circulaire IOM inclus lui-même dans le triangle OIT.
Donc en utilisant les aires, on obtient :
, soit sin(x) ≤ x ≤ 
car OI = 1.En inversant, on obtient :
.Soit : cos(x) ≤
≤ 1 car sin(x) > 0 pour 0
< x < 
.De plus, cos(-x) = cos(x) et
donc : cos(-x) ≤ 
≤ 1.Ainsi,
.• Définition de la dérivabilité d'une fonction f en a.
Soit h un réel non nul, on pose : tf(h)
= 
.
tf(h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant :
.
On note L = f ’(a).
.tf(h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant :
.
On note L = f ’(a).
2. Continuité des fonctions sinus et cosinus
a. Théorème 1
Les fonctions cosinus et sinus sont continues en 0.
Preuve
• Fonction sinus
Pour 0 < x <
, on a : 0 < sin(x)
≤ x.Donc pour
< x < 0, on a : 0 <
sin(-x) ≤ -x.Soit : x ≤ sin(x) < 0.
Or d’après le théorème
d’encadrement : 
et 
.
et .
Or sin(0) = O, donc :
.La fonction sinus est continue en 0.
• On fait de même pour la fonction cosinus.
cos(x) = cos(
) = 1 –
2sin²(
)
donc 
.Or cos(0) = 1, donc :
.La fonction cosinus est continue sur 0.
b. Théorème 2
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur
.
.
3. Dérivabilité des fonctions sinus et
cosinus
a. Dérivabilité en 0
• Fonction sinus
Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est : tsin(x) =
.
On a vu au 1) que l’on a : cos(x) ≤
≤ 1 pour 
et que 
.
Donc d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que :
.
Ainsi :
et
donc sin ’ (0) = 1.
• Fonction cosinus
Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est :
.
On a vu au 2) que l'on a :
.
Donc :
.
donc : 
et 
.
Ainsi,
et cos(0) ' = 0.
Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est : tsin(x) =
.On a vu au 1) que l’on a : cos(x) ≤
≤ 1 pour
et que
.Donc d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que :
.Ainsi :
et
donc sin ’ (0) = 1.
La fonction sinus est dérivable en 0 et sin' (0)
= 1.
Et :
.
Et :
.
• Fonction cosinus
Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est :
.On a vu au 2) que l'on a :
.Donc :
.
donc :
et .Ainsi,
et cos(0) ' = 0.
La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos'
(0) = 0.
Et :
.
Et :
.
b. Dérivabilité sur R
• Fonction sinus
Soit (a ; h) un couple de réels tel que
.
Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a+h est donné par :
.
Donc :
.
Et :
.
• On procède de la même façon avec la fonction cosinus et
.
Soit (a ; h) un couple de réels tel que
.Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a+h est donné par :
.
On utilise la formule : 
.
.
Donc :
.Et :
.• On procède de la même façon avec la fonction cosinus et
.
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables
sur 
et pour tout réel x, on a :
.
Remarque :
.
et pour tout réel x, on a :.Remarque :
.
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