Dérivées des fonctions sinus et cosinus

cos(2a) = 1 – 2sin²(a)
• On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche :
Pour 0 < x <

On obtient :


On constate aussi que le triangle OIM est inclu dans le secteur circulaire IOM inclus lui-même dans le triangle OIT.
Donc en utilisant les aires, on obtient :


En inversant, on obtient :

Soit : cos(x) ≤


De plus, cos(-x) = cos(x) et


Ainsi,

• Définition de la dérivabilité d'une fonction f en a.

tf(h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant :

Preuve
• Fonction sinus
Pour 0 < x <

Donc pour

Soit : x ≤ sin(x) < 0.


Or sin(0) = O, donc :

La fonction sinus est continue en 0.
• On fait de même pour la fonction cosinus.
cos(x) = cos(




Or cos(0) = 1, donc :

La fonction cosinus est continue sur 0.

Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est : tsin(x) =

On a vu au 1) que l’on a : cos(x) ≤



Donc d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que :

Ainsi :

Et :

• Fonction cosinus
Pour x non-nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est :

On a vu au 2) que l'on a :

Donc :




Ainsi,

Et :

Soit (a ; h) un couple de réels tel que

Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a+h est donné par :


Donc :

Et :

• On procède de la même façon avec la fonction cosinus et



Remarque :


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