Matrices inverses
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
Donner un moyen simple d’obtenir la matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre 2.
Y = Y
X = 1.On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 =
.Qu’en est-t-il pour les matrices ?
On dit que A est une matrice inversible s’il existe une matrice B carrée d’ordre n vérifiant la double égalité : A
B = B
A = In
avec In, la matrice identité
d’ordre n.B est une matrice inverse si B = A-1.
Remarque
La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées.
Preuve
Soit C une matrice carrée d’ordre n vérifiant aussi la double égalité AC = CA = In.
En utilisant les diverses propriétés du produit matriciel on a :
C = C × In = C × (A × B) = (C × A) × B = In × B = B.
Ainsi, si une matrice carrée est inversible, alors sa matrice inverse est unique.
Exemple : Soient deux matrices A et B telles que :
.On calcule AB puis BA :
.Et on remarque que B = A-1.
La matrice inverse A-1 est inversible et (A-1)-1 = A.
Preuve
On doit démontrer que A-1 × A = A × A-1 = In ; ces égalités sont vraies puisqu’elles définissent l’inversion de A.
.
La matrice A est-elle inversible ? Si oui, quelle
est sa matrice inverse ?On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.
On pose pour cela :
.AB = I2
et 
En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution puisque
.Le nombre
est appelé le déterminant de
ces systèmes ; on dira aussi qu’il
s’agit du déterminant de la matrice A
et on le notera det(A).Résolvons ce système :
et 
et 
.Ainsi B =
et on vérifie ensuite que : 
.Donc : A-1 =
.
.On appelle déterminant de A le nombre
. On le note det(A).
De plus, on dispose de l’égalité fournissant A-1 à savoir : det(A) × A-1 =
.Ainsi, A-1 =
.
Preuve
On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.
On pose :
.AB = I2
et 
En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution lorsque
, soit encore 
.Autrement dit AB = I2 lorsque det(A) ≠ 0.
Dans ce cas et après calcul on a :
et 
et 
.Ainsi, B =
.Reste plus qu'à calculer BA :
.Concrètement, lorsque l’on souhaite inverser une matrice carrée
, on procède de la
façon suivante :• On crée une matrice carrée d’ordre 2 en procédant ainsi :
- on permute les nombres de la diagonale principale de A : d à la place de a.
- pour l'autre diagonale, on ne permute pas les nombres mais on prend leurs opposés.
On obtient finalement une nouvelle matrice égale à det(A)
A-1 :
.On trouve A-1 en divisant les coefficients de cette nouvelle matrice par det(A).
Prenons un exemple pour illustrer cette méthode.
Soit A =
:→ det(A) = –10 – (–12) = 2 donc A est une matrice inversible.
→ on obtient la matrice
.→ d'où 2
A-1 =
A-1 =
.Remarque
Pour l’inversion des matrices carrées d’ordre supérieur à 2, on utilisera des logiciels gratuits ou bien la calculatrice programmable.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
Dérivées des fonctions sinus et cosinus
Mathématiques
Suites géométriques et arithmético-géométriques
Mathématiques
Loi normale centrée réduite N(0,1)
Mathématiques
Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle
Mathématiques
Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle
Mathématiques
Loi normale
Mathématiques
Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale centrée réduite
Mathématiques
Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale
Mathématiques
Savoir utiliser la calculatrice pour rechercher un seuil
Mathématiques
Lois de probabilités continues
Fermer
Accédez gratuitement à
