Matrices inverses
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Donner un moyen simple d’obtenir la matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre 2.
Y = Y
X = 1.On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 =
.Qu’en est-t-il pour les matrices ?
On dit que A est une matrice inversible s’il existe une matrice B carrée d’ordre n vérifiant la double égalité : A
B = B
A = In
avec In, la matrice identité
d’ordre n.B est une matrice inverse si B = A-1.
Remarque
La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées.
Preuve
Soit C une matrice carrée d’ordre n vérifiant aussi la double égalité AC = CA = In.
En utilisant les diverses propriétés du produit matriciel on a :
C = C × In = C × (A × B) = (C × A) × B = In × B = B.
Ainsi, si une matrice carrée est inversible, alors sa matrice inverse est unique.
Exemple : Soient deux matrices A et B telles que :
.On calcule AB puis BA :
.Et on remarque que B = A-1.
La matrice inverse A-1 est inversible et (A-1)-1 = A.
Preuve
On doit démontrer que A-1 × A = A × A-1 = In ; ces égalités sont vraies puisqu’elles définissent l’inversion de A.
.
La matrice A est-elle inversible ? Si oui, quelle
est sa matrice inverse ?On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.
On pose pour cela :
.AB = I2
et 
En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution puisque
.Le nombre
est appelé le déterminant de
ces systèmes ; on dira aussi qu’il
s’agit du déterminant de la matrice A
et on le notera det(A).Résolvons ce système :
et 
et 
.Ainsi B =
et on vérifie ensuite que : 
.Donc : A-1 =
.
.On appelle déterminant de A le nombre
. On le note det(A).
De plus, on dispose de l’égalité fournissant A-1 à savoir : det(A) × A-1 =
.Ainsi, A-1 =
.
Preuve
On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.
On pose :
.AB = I2
et 
En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution lorsque
, soit encore 
.Autrement dit AB = I2 lorsque det(A) ≠ 0.
Dans ce cas et après calcul on a :
et 
et 
.Ainsi, B =
.Reste plus qu'à calculer BA :
.Concrètement, lorsque l’on souhaite inverser une matrice carrée
, on procède de la
façon suivante :• On crée une matrice carrée d’ordre 2 en procédant ainsi :
- on permute les nombres de la diagonale principale de A : d à la place de a.
- pour l'autre diagonale, on ne permute pas les nombres mais on prend leurs opposés.
On obtient finalement une nouvelle matrice égale à det(A)
A-1 :
.On trouve A-1 en divisant les coefficients de cette nouvelle matrice par det(A).
Prenons un exemple pour illustrer cette méthode.
Soit A =
:→ det(A) = –10 – (–12) = 2 donc A est une matrice inversible.
→ on obtient la matrice
.→ d'où 2
A-1 =
A-1 =
.Remarque
Pour l’inversion des matrices carrées d’ordre supérieur à 2, on utilisera des logiciels gratuits ou bien la calculatrice programmable.
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