Matrices inverses
Donner un moyen simple d’obtenir la matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre 2.


On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 =

Qu’en est-t-il pour les matrices ?
On dit que A est une matrice inversible s’il existe une matrice B carrée d’ordre n vérifiant la double égalité : A


B est une matrice inverse si B = A-1.
Remarque
La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées.
Preuve
Soit C une matrice carrée d’ordre n vérifiant aussi la double égalité AC = CA = In.
En utilisant les diverses propriétés du produit matriciel on a :
C = C × In = C × (A × B) = (C × A) × B = In × B = B.
Ainsi, si une matrice carrée est inversible, alors sa matrice inverse est unique.
Exemple : Soient deux matrices A et B telles que :

On calcule AB puis BA :

Et on remarque que B = A-1.
La matrice inverse A-1 est inversible et (A-1)-1 = A.
Preuve
On doit démontrer que A-1 × A = A × A-1 = In ; ces égalités sont vraies puisqu’elles définissent l’inversion de A.

On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.
On pose pour cela :

AB = I2



En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution puisque

Le nombre

Résolvons ce système :





Ainsi B =


Donc : A-1 =


On appelle déterminant de A le nombre

De plus, on dispose de l’égalité fournissant A-1 à savoir : det(A) × A-1 =

Ainsi, A-1 =

Preuve
On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.
On pose :

AB = I2



En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution lorsque


Autrement dit AB = I2 lorsque det(A) ≠ 0.
Dans ce cas et après calcul on a :





Ainsi, B =

Reste plus qu'à calculer BA :

Concrètement, lorsque l’on souhaite inverser une matrice carrée

• On crée une matrice carrée d’ordre 2 en procédant ainsi :
- on permute les nombres de la diagonale principale de A : d à la place de a.
- pour l'autre diagonale, on ne permute pas les nombres mais on prend leurs opposés.
On obtient finalement une nouvelle matrice égale à det(A)


On trouve A-1 en divisant les coefficients de cette nouvelle matrice par det(A).
Prenons un exemple pour illustrer cette méthode.
Soit A =

→ det(A) = –10 – (–12) = 2 donc A est une matrice inversible.
→ on obtient la matrice

→ d'où 2




Remarque
Pour l’inversion des matrices carrées d’ordre supérieur à 2, on utilisera des logiciels gratuits ou bien la calculatrice programmable.

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