Matrices inverses - Maxicours

Matrices inverses

Objectif(s)
Définir la notion de matrice inverse.
Donner un moyen simple d’obtenir la matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre 2.

Pour tout nombre non nul X, il existe un unique nombre Y tel que XY = YX = 1.

On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 = .

Qu’en est-t-il pour les matrices ?

1. Définitions et propriétés
a. Définition 1 : matrice inverse
Soit A une matrice carrée d’ordre n.

On dit que A est une matrice inversible s’il existe une matrice B carrée d’ordre n vérifiant la double égalité : AB = BA = In avec In, la matrice identité d’ordre n.

B est une matrice inverse si B = A-1.

Remarque
La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées.
b. Propriété 1 : unicité
Avec les notations de la définition, la matrice B inverse est unique.

Preuve
Soit C une matrice carrée d’ordre n vérifiant aussi la double égalité AC = CA = In.

En utilisant les diverses propriétés du produit matriciel on a :

C = C × In = C × (A × B) = (C × A) × B = In × B = B.

Ainsi, si une matrice carrée est inversible, alors sa matrice inverse est unique.

Exemple : Soient deux matrices A et B telles que : .

On calcule AB puis BA : .

Et on remarque que B = A-1.

c. Propriété 2 : inverse d'une matrice inverse
Soit A une matrice carrée d’ordre n inversible.
La matrice inverse A-1 est inversible et (A-1)-1 = A.

Preuve
On doit démontrer que A-1 × A = A × A-1 = In ; ces égalités sont vraies puisqu’elles définissent l’inversion de A.

2. Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
a. Exemple
Soit A = . La matrice A est-elle inversible ? Si oui, quelle est sa matrice inverse ?

On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.

On pose pour cela : .

AB = I2 et

En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution puisque .

Le nombre est appelé le déterminant de ces systèmes ; on dira aussi qu’il s’agit du déterminant de la matrice A et on le notera det(A).

Résolvons ce système : et et .

Ainsi B = et on vérifie ensuite que : .

Donc : A-1 = .


b. Définition 2 : déterrminant d'ordre 2
Soit A une matrice carrée d’ordre 2 définie par A = .
On appelle déterminant de A le nombre . On le note det(A).

c. Propriété 3 : inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Avec les notations de la définition 2, la matrice A est inversible lorsque det(A) ≠ 0.

De plus, on dispose de l’égalité fournissant A-1 à savoir : det(A) × A-1 = .
Ainsi, A-1 = .

Preuve
On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.

On pose : .

AB = I2 et

En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution lorsque , soit encore .

Autrement dit AB = I2 lorsque det(A) ≠ 0.

Dans ce cas et après calcul on a : et et .
Ainsi, B = .

Reste plus qu'à calculer BA : .

Concrètement, lorsque l’on souhaite inverser une matrice carrée , on procède de la façon suivante :

• On calcule det(A) = adbc. S’il est nul, A n’est pas inversible, sinon elle l’est.

• On crée une matrice carrée d’ordre 2 en procédant ainsi :
         - on permute les nombres de la diagonale principale de A : d à la place de a.
         - pour l'autre diagonale, on ne permute pas les nombres mais on prend leurs opposés.

         On obtient finalement une nouvelle matrice égale à det(A)A-1 : .

         On trouve A-1 en divisant les coefficients de cette nouvelle matrice par det(A).

Prenons un exemple pour illustrer cette méthode.

Soit A = :

→ det(A) = –10 – (–12) = 2 donc A est une matrice inversible.

→ on obtient la matrice .

→ d'où 2A-1 = A-1 = .

Remarque
Pour l’inversion des matrices carrées d’ordre supérieur à 2, on utilisera des logiciels gratuits ou bien la calculatrice programmable.

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