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Matrices inverses

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Objectif(s)

Définir la notion de matrice inverse.
Donner un moyen simple d’obtenir la matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre 2.

Pour tout nombre non nul X, il existe un unique nombre Y tel que X

Y = Y

X = 1.

On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X ^-1 =

.

Qu’en est-t-il pour les matrices ?

1. Définitions et propriétés

a. Définition 1 : matrice inverse

Soit A une matrice carrée d’ordre n.

On dit que A est une matrice inversible s’il existe une matrice B carrée d’ordre n vérifiant la double égalité : AB = B

A = I_n avec I_n, la matrice identité d’ordre n.

B est une matrice inverse si B = A^-1.

Remarque
La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées.

b. Propriété 1 : unicité

Avec les notations de la définition, la matrice B inverse est unique.

Preuve
Soit C une matrice carrée d’ordre n vérifiant aussi la double égalité AC = CA = I_n.

En utilisant les diverses propriétés du produit matriciel on a :

C = C × I_n = C × (A × B) = (C × A) × B = I_n × B = B.

Ainsi, si une matrice carrée est inversible, alors sa matrice inverse est unique.

Exemple : Soient deux matrices A et B telles que :

.

On calcule AB puis BA :

.

Et on remarque que B = A^-1.

c. Propriété 2 : inverse d'une matrice inverse

Soit A une matrice carrée d’ordre n inversible.
La matrice inverse A^-1 est inversible et (A^-1)^-1 = A.

Preuve
On doit démontrer que A^-1 × A = A × A^-1 = I_n ; ces égalités sont vraies puisqu’elles définissent l’inversion de A.

2. Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2

a. Exemple

Soit A = . La matrice A est-elle inversible ? Si oui, quelle est sa matrice inverse ?

On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I₂.

On pose pour cela :

.

AB = I₂

En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution puisque

.

Le nombre

est appelé le déterminant de ces systèmes ; on dira aussi qu’il s’agit du déterminant de la matrice A et on le notera det(A).

Résolvons ce système :

.

Ainsi B =

et on vérifie ensuite que :

.

Donc : A^-1 =

b. Définition 2 : déterrminant d'ordre 2

Soit A une matrice carrée d’ordre 2 définie par A =

.
On appelle déterminant de A le nombre

. On le note det(A).

c. Propriété 3 : inverse d'une matrice carrée d'ordre 2

Avec les notations de la définition 2, la matrice A est inversible lorsque det(A) ≠ 0.

De plus, on dispose de l’égalité fournissant A^-1 à savoir : det(A) × A^-¹ =

.
Ainsi, A^-1 =

Preuve
On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I₂.

On pose :

.

AB = I₂

En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution lorsque

, soit encore

.

Autrement dit AB = I₂ lorsque det(A) ≠ 0.

Dans ce cas et après calcul on a :

.
Ainsi, B =

.

Reste plus qu'à calculer BA :

.

Concrètement, lorsque l’on souhaite inverser une matrice carrée

, on procède de la façon suivante :

• On calcule det(A) = ad – bc. S’il est nul, A n’est pas inversible, sinon elle l’est.

• On crée une matrice carrée d’ordre 2 en procédant ainsi :
         - on permute les nombres de la diagonale principale de A : d à la place de a.
         - pour l'autre diagonale, on ne permute pas les nombres mais on prend leurs opposés.

         On obtient finalement une nouvelle matrice égale à det(A)

A^-1 :

.

On trouve A^-1 en divisant les coefficients de cette nouvelle matrice par det(A).

Prenons un exemple pour illustrer cette méthode.

Soit A =

:

→ det(A) = –10 – (–12) = 2 donc A est une matrice inversible.

→ on obtient la matrice

.

→ d'où 2

A^-1 =

.

Remarque
Pour l’inversion des matrices carrées d’ordre supérieur à 2, on utilisera des logiciels gratuits ou bien la calculatrice programmable.