Matrices carrées - Maxicours

Matrices carrées

Objectif(s)
Rappeler les définitions des matrices carrées.
Préciser les règles de calcul sur les matrices carrées.
1. Définitions
a. Matrice carrée
Soit n un entier naturel non nul.
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice de dimension n × n, autrement dit une matrice à n lignes et n colonnes.

Si on note A = (ai,j) une telle matrice, les coefficients ai,i, à savoir a1,1, a2,2, …, an,n, sont les coefficients situés sur ce que l’on appelle la diagonale principale.
Exemple : .
b. Matrice nulle et matrice identité
Soit n un entier naturel non nul.

La matrice nulle d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls ; on la note 0n.

La matrice identité d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In.

Pour toute matrice carrée d’ordre n notée A, on dispose des égalités AIn = InA = A.

Exemple : et .
2. Règles sur les opérations
Les matrices carrées obéissent aux règles générales concernant les opérations matricielles, mais la multiplication est à manier avec précaution.

On sait tous que 23 = 32. On dit que la multiplication des nombres est une opération commutative. Or ce n'est pas du tout le cas pour le produit de deux matrices carrées.

a. Règle 1 : le piège de la non-commutativité du produit matriciel
Il existe des couples (A ; B) de matrices carrées d’ordre n qui ne vérifient pas l’égalité : A × B = B × A.
Un petit exemple pour s'en convaincre :




Remarque 
Pour tout couple (a, b) de nombres, si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0 ; on dit que le nombre 0 n’a pas de diviseurs. Or pour les matrices carrées, c'est particulier : la matrice 0n a des diviseurs...

b. Règle 2 : le piège des diviseurs de la matrice nulle
Il existe des couples (A ; B) de matrices carrées d’ordre n qui ne vérifient pas la proposition :
A × B = 0 A = 0 ou B = 0

Un petit exemple pour s'en convaincre :

.

Remarque
Cette règle 2 induit un autre piège, à savoir qu’il peut exister deux matrices d’ordre n distinctes B et C et une matrice d’ordre n notée A telles que A × B = A × C.

Exemple :



Cependant, deux règles restent inchangées par rapport à celles sur les nombres :

► Règle de l'associativité telle que : 2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
► Règle de la distributivité de la multiplication sur l'addition : 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4.

Ces règles sont vraies pour les matrices carrées.


c. Règle 3 : l'associativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition
Pour tout triplet (A, B, C) de matrices carrées d’ordre n, on dispose des égalités suivantes :
A × B × C = A × (B × C) = (A × B) × C
A × (B + C) = A × B + A × C.
Pour tout couple (A, B) de matrices carrées d’ordre n et pour tout réel k, on dispose des égalités :
kAB = (kA)B = A(kB).

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