Matrices carrées
Objectif(s)
Rappeler les définitions des matrices
carrées.
Préciser les règles de calcul sur les matrices carrées.
Préciser les règles de calcul sur les matrices carrées.
1. Définitions
a. Matrice carrée
Soit n un entier naturel non nul.
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice de dimension n × n, autrement dit une matrice à n lignes et n colonnes.
Si on note A = (ai,j) une telle matrice, les coefficients ai,i, à savoir a1,1, a2,2, …, an,n, sont les coefficients situés sur ce que l’on appelle la diagonale principale.
Exemple : Une matrice carrée d’ordre n est une matrice de dimension n × n, autrement dit une matrice à n lignes et n colonnes.
Si on note A = (ai,j) une telle matrice, les coefficients ai,i, à savoir a1,1, a2,2, …, an,n, sont les coefficients situés sur ce que l’on appelle la diagonale principale.
.
b. Matrice nulle et matrice identité
Soit n un entier naturel non nul.
La matrice nulle d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls ; on la note 0n.
La matrice identité d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In.
Pour toute matrice carrée d’ordre n notée A, on dispose des égalités A
In = In
A = A.
La matrice nulle d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls ; on la note 0n.
La matrice identité d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In.
Pour toute matrice carrée d’ordre n notée A, on dispose des égalités A
In = InA = A.
Exemple :
et 
.
2. Règles sur les opérations
Les matrices carrées obéissent aux
règles générales concernant les
opérations matricielles, mais la multiplication est
à manier avec précaution.
On sait tous que 2
3 = 3
2. On dit que la
multiplication des nombres est une opération
commutative. Or ce n'est pas du tout le cas pour le
produit de deux matrices carrées.
On sait tous que 2
3 = 32. On dit que la
multiplication des nombres est une opération
commutative. Or ce n'est pas du tout le cas pour le
produit de deux matrices carrées.
a. Règle 1 : le piège de la
non-commutativité du produit matriciel
Il existe des couples (A ; B) de matrices
carrées d’ordre n qui ne
vérifient pas l’égalité :
A × B = B × A.
Un petit exemple pour s'en convaincre :
Remarque
Pour tout couple (a, b) de nombres, si a
b = 0, alors a = 0
ou b = 0 ; on dit que le nombre 0 n’a pas de
diviseurs. Or pour les matrices carrées, c'est
particulier : la matrice 0n a des
diviseurs...
b. Règle 2 : le piège des diviseurs de
la matrice nulle
Il existe des couples (A ; B) de matrices
carrées d’ordre n qui ne
vérifient pas la proposition :
A × B = 0 
A = 0 ou B = 0
A = 0 ou B = 0
Un petit exemple pour s'en convaincre :
.Remarque
Cette règle 2 induit un autre piège, à savoir qu’il peut exister deux matrices d’ordre n distinctes B et C et une matrice d’ordre n notée A telles que A × B = A × C.
Exemple :
Cependant, deux règles restent inchangées par rapport à celles sur les nombres :
► Règle de l'associativité telle que : 2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
► Règle de la distributivité de la multiplication sur l'addition : 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4.
Ces règles sont vraies pour les matrices
carrées.
c. Règle 3 : l'associativité et la
distributivité de la multiplication sur l'addition
Pour tout triplet (A, B, C) de
matrices carrées d’ordre n, on
dispose des égalités suivantes :
A × B × C = A × (B × C) = (A × B) × C
A × (B + C) = A × B + A × C.
A × B × C = A × (B × C) = (A × B) × C
A × (B + C) = A × B + A × C.
Pour tout couple (A, B) de matrices
carrées d’ordre n et pour tout
réel k, on dispose des
égalités :
k
AB =
(k
A)
B = A
(k
B).
k
AB =
(kA)B = A(kB).
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