Matrices carrées
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Préciser les règles de calcul sur les matrices carrées.
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice de dimension n × n, autrement dit une matrice à n lignes et n colonnes.
Si on note A = (ai,j) une telle matrice, les coefficients ai,i, à savoir a1,1, a2,2, …, an,n, sont les coefficients situés sur ce que l’on appelle la diagonale principale.
.
La matrice nulle d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls ; on la note 0n.
La matrice identité d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In.
Pour toute matrice carrée d’ordre n notée A, on dispose des égalités A
In = In
A = A.
Exemple :
et 
.
On sait tous que 2
3 = 3
2. On dit que la
multiplication des nombres est une opération
commutative. Or ce n'est pas du tout le cas pour le
produit de deux matrices carrées.
Remarque
Pour tout couple (a, b) de nombres, si a
b = 0, alors a = 0
ou b = 0 ; on dit que le nombre 0 n’a pas de
diviseurs. Or pour les matrices carrées, c'est
particulier : la matrice 0n a des
diviseurs...
A = 0 ou B = 0
Un petit exemple pour s'en convaincre :
.Remarque
Cette règle 2 induit un autre piège, à savoir qu’il peut exister deux matrices d’ordre n distinctes B et C et une matrice d’ordre n notée A telles que A × B = A × C.
Exemple :
Cependant, deux règles restent inchangées par rapport à celles sur les nombres :
► Règle de l'associativité telle que : 2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
► Règle de la distributivité de la multiplication sur l'addition : 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4.
A × B × C = A × (B × C) = (A × B) × C
A × (B + C) = A × B + A × C.
k
AB =
(k
A)
B = A
(k
B).
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