Médiatrice d'un segment - Cours de Mathématiques avec Maxicours - Collège

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Médiatrice d'un segment

Objectif
Chaque segment possède un axe de symétrie appelé médiatrice du segment.
Comment peut-on tracer la médiatrice d’un segment avec une équerre ou un compas ?
1. Définition de la médiatrice d'un segment
La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.

(d) est la médiatrice du segment [AB].

Codage
• Les traits bleus parallèles de part et d’autre de I indiquent que I est le milieu de [AB].
• Le petit carré rouge indique que les droites (d) et (AB) sont perpendiculaires.
2. Propriétés des médiatrices
Propriété 1
Si un point M appartient à la médiatrice (d) d’un segment [AB] alors il est à égale distance de A et de B. On a :
MA = MB.

Propriété 2
Si un point M est à égale distance de deux points A et B, alors M est sur la médiatrice de [AB].
Exemple
Soit M et N deux points tels que MA = MB = 4 cm et NA = NB = 6 cm.
Justifier que (AB) et (MN) se coupent en I milieu de [AB].

D’après la propriété 2, M et N sont sur la médiatrice de [AB] donc (MN) est la médiatrice du segment [AB]. Or la médiatrice d’un segment passe par son milieu.
Donc (MN) et (AB) se coupe en I milieu de [AB].

Remarque
La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.
3. Construction d'une médiatrice
a. A l'équerre et à la règle graduée
Exemple
Tracer la médiatrice (d) du segment [AB].

On peut tracer la médiatrice d’un segment grâce à sa définition, en suivant les étapes suivantes :

Première étape
On mesure le segment [AB] avec une règle graduée.

Le segment [AB] mesure AB = 6 cm.

Deuxième étape
On place le milieu I de [AB]. La position du point I s’obtient en faisant le calcul suivant : IA = IB = AB ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm.
 
Troisième étape
On place l’équerre en I puis on trace la perpendiculaire à [AB] passant par I.

(d) est la médiatrice de [AB].
b. Au compas
Exemple
Tracer la médiatrice (d) du segment [AB].

Si un point M est à égale distance de deux points A et B, alors M est sur la médiatrice de [AB].
D’après cette propriété, on a la construction au compas suivante :

Première étape
On prend approximativement un écartement de compas supérieur à la moitié du segment.

 
Deuxième étape
A partir de A puis de B, on reporte avec des arcs de cercle cette longueur de part et d’autre du segment [AB].

On note M et N les deux points d’intersections des arcs de cercles.

Remarque
Pour alléger le schéma, on peut ne tracer que la partie où les arcs de cercles se coupent.

Troisième étape
On trace la droite (MN), médiatrice du segment [AB].

On code le milieu I du segment [AB] ainsi que l’angle droit.

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