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Volume du cube et du pavé droit

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Objectifs
Le cube et le pavé droit sont des solides très présents parmi les objets de la vie courante. Les dés ou certaines boites sont des cubes. Les boites à chaussures, les briques, les livres, les pièces d’une maison sont souvent des pavés droits.
Qu’est-ce que le volume d’un solide ? Comment calcule-t-on le volume d’un cube ou d'un pavé droit ?
1. Volume d'un solide
a. Définition
Le volume d’un solide correspond à l’espace qu’il occupe, c'est-à-dire l'espace à l'intérieur du solide.
Le mètre cube (m3) est l’unité de mesure du volume. Les multiples du m3 sont le décamètre cube (dam3), l’hectomètre cube (hm3) et le kilomètre cube (km3). Les sous-multiples du m3 sont le décimètre cube (dm3), le centimètre cube (cm3) et le millimètre cube (mm3).

Exemple : 1 m3 correspond au volume d’un cube dont l’arête mesure 1 m.
b. Conversion des volumes
Pour effectuer les conversions de volumes, on peut utiliser un tableau de conversion ou s’en faire une représentation mentale.

Tableau de conversion des volumes :
Chaque unité de volume contient trois colonnes et chaque colonne ne contient qu’un seul chiffre.

 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
              1 8 7 0 0                  
                            0, 2 6 7 3    
        1 4 6 7 8 0 0 0                  

Exemples :
18,7 dam3 = 18 700 m3.
Pour convertir 18,7 dam3 en m3, on place le chiffre des unités (le 8) dans la colonne correspondant à l’unité de volume de départ (le dam3), puis on décale la virgule et on ajoute des zéros pour convertir dans l’unité de volume d’arrivée (le m3).
En procédant de la même façon, on a :
267,3 cm3 = 0,2673 dm3 ;
14,678 hm3 = 14 678 000 m3.
c. Autres unités de volumes
Pour mesurer les volumes, on utilise aussi les mesures de contenance dont l'unité de base est le litre (noté L) ainsi que ses multiples et sous-multiples :
le kilolitre (kL), l'hectolitre (hL), le décalitre (daL), le décilitre (dL), le centilitre (cL) et le millilitre (mL).
On obtient la correspondance suivante entre les volumes et les contenances :
1 L = 1 dm3 ou encore 1 m3 = 1 000 L

m3 dm3 cm3
    kL  hL daL L dL cL mL
    1, 4 0 0      

Exemple : 1,4 m3 = 1 400 dm3 = 1 400 L.
2. Volume du pavé droit
Démonstration :
On veut donner le volume total de ce pavé droit composé de petits cubes de 1 cm3:

 
 

La première « couche avant » contient 8 cubes (4 × 2). Il y a 3 « couches » de cubes.

 
 
Donc au total le pavé droit contient 24 cubes de 1 cm3. Son volume est de 24 cm3.

 
Le volume V d’un pavé droit de longueur L, de largeur l et de hauteur h est :
V = L × l × h.


 
Exemple :
Calculer le volume d’un pavé droit de 2 cm de hauteur, de 3 cm de largeur et de 4 cm de longueur.
D’après la formule, on a :
V = 4 × 3 × 2 = 24 cm3.

3. Volume du cube
On calcule le volume V d'un cube d'arête a en utilisant la formule suivante :
Volume du cube = arête × arête × arête
 V = a3

Exemple : Prenons le cube suivant :


 
 
Le cube ci dessus ayant des arêtes de 5 cm, son volume est égal à 53 = 125 cm3.
Je retiens
Le volume d'un solide correspond à l'espace qu'il occupe.

L'unité de base pour mesurer les volumes est le m3. On peut également utiliser les mesures de contenance pour mesurer des volumes. On établit alors la correspondance suivante : 1 m3 = 1 000 L.

Pour calculer le volume d'un pavé droit, on applique la formule suivante : V = L × l × h (avec L la longueur, l la largeur et h la hauteur du pavé droit).

Pour calculer le volume d'un cube, on applique la formule suivante : V = a3 (avec a l'arête du cube).

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