Division euclidienne, multiples et diviseurs - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Division euclidienne, multiples et diviseurs

Objectifs
Comment effectue-t-on une division euclidienne ? Quel est le vocabulaire associé ?
Quels sont les critères de divisibilité ? Comment les utiliser ?
1. Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b, c’est trouver le quotient entier et le reste de la division de a par b.
Le nombre a est appelé le dividende et le nombre b est appelé le diviseur.
Exemple : Effectuons la division de 273 par 17.
Dans cette division, 273 est le dividende et 17 le diviseur.

1ère étape
On commence par poser la division de 273 par 17.
On observe que 2 est un nombre trop petit pour contenir 17, on commence donc par choisir les deux premiers chiffres du dividende.

2ème étape
27 contient une seule fois 17.
On écrit donc le chiffre 1 au quotient et on soustrait 1 x 17 = 17 à 27.
Il reste 10.

3ème étape
On abaisse ensuite un chiffre supplémentaire au dividende et on cherche combien de fois 103 contient 17.

On a 6 x 17 = 102, on inscrit donc le 6 au quotient et on soustrait 102 à 103.

Le quotient entier de 273 par 17 est donc de 16 et son reste est 1.

Dans une division euclidienne, on a toujours la relation suivante :
dividende = diviseur × quotient + reste, avec reste < diviseur

Exemple :
Ceci nous donne, pour l’exemple précédent :
273 = 17 × 16 + 1.

2. Diviseurs et multiples
Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul (égal à zéro), on dit que :
  • a est divisible par ;
  • a est un multiple de b ;
  • b est un diviseur de a.
Exemple
42 ÷ 6 = 7 c’est-à-dire que 42 = 6 × 7 + 0.
7 est donc le quotient de 42 par 6 et le reste de cette division est nul.

On dira alors que :
  • 42 est divisible par 6 ;
  • 42 est un multiple de 6 ;
  • 6 est un diviseur de 42.

Remarque 
D’après l’égalité ci-dessus, on a aussi 42 ÷ 7 = 6, donc 42 est également divisible par 7 et 7 est donc aussi un diviseur de 42.


► Méthode 
Afin de pouvoir déterminer de manière simple si un nombre est diviseur d’un autre, nous avons à notre disposition quelques règles appelées critères de divisibilité :
  • un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, c’est-à-dire qu’il est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
  • un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
  • un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est égal à 0 ou 5 ;
  • un nombre entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 3 ;
  • un nombre entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 9 ;
  • un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est égal à 0.
Exemple 1 :
Le nombre 252 est divisible par 2 car il se termine par 2.
Il n’est pas divisible par 5, car il ne se termine pas par 0 ou 5.
Il est divisible par 3, car 2 + 5 + 2 = 9 et 9 est divisible par 3.
Il est divisible par 9, car 2 + 5 + 2 = 9 et 9 est divisible par 9.
Il n’est pas divisible par 10, car il ne se termine pas par 0.

Conclusion : 2, 3 et 9 sont des diviseurs de 252, mais pas 5 et 10.
  
Exemple 2 :
Le nombre 4 590 est divisible par 2, 5 et 10, car il se termine par 0.
D’autre part,  4 + 5 + 9 + 0 = 18 et 18 est divisible par 3 et par 9, donc 4 590 est divisible par 3 et par 9.

Conclusion : 2, 3, 5, 9 et 10 sont tous des diviseurs de 4 590.

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