Ordre et opérations - Maxicours MAXICOURS

Ordre et opérations

Objectifs
Manipuler des inégalités peut être utile pour la résolution d’inéquations (3ème) ou tout simplement pour comparer 2 nombres.
Comment les opérations (+ ; - ; × et ÷) influent sur les inégalités ? Comment comparer deux nombres ?
1. Inégalités
Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ou

Notations :

< se lit « strictement inférieur » et > « strictement supérieur »
se lit « inférieur ou égal » et « supérieur ou égal »

Exemple :                           
2. Ordre et opérations
On ne change pas le sens d’une inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.

En écriture mathématique: soient a, b et c des nombres quelconques:
Si   a < b   alors   a+c < b+c   et   a–c < b–c

Exemples :
• Si   4 x   alors   4 + 5 x + 5   d’où   9 x + 5
• Si   z > 14   alors   z – 8 > 14 – 8   d’où   z – 8 > 6
On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.

En écriture mathématique : soient a, b et c des nombres quelconques avec c > 0
Si   a < b   alors   a × c < b × c   et     

Exemples :
Si   4 <    alors   3 × 4 < 3   d’où   12 < 3
Si   z 28   alors      d’où   4
On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif.

En écriture mathématique : soient a, b et c des nombres quelconques avec c < 0
Si    a < b   alors   a × c > b × c   et    

Exemples :

Si   4 <   alors   -3 × 4 > -3    d’où   -12 < -3
Si   z 28   alors     d’où   -4

Remarque : Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.
3. Comparaison de deux nombres
Pour comparer deux nombres a et b, il suffit de regarder leur différence :
           •    Si    a b > 0    alors    a > b
           •    Si    a b < 0    alors    a < b

Exemple :

Soit un nombre tel que + 4 > 0. est-il forcément positif ?
Si   + 4 > 0   alors   > - 4   (cela n'implique pas que > 0)
Par exemple = – 2 vérifie l’inégalité. Donc n’est pas forcément positif.

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