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Multiplications et divisions de nombres relatifs

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Objectif

Pour opérer une multiplication ou une division avec des nombres relatifs, on étudiera d’une part son signe, puis le résultat final.
Quelle est la règle des signes pour les multiplications et les divisions de nombres relatifs ?

1. Multiplications de nombres relatifs

Règle des signes :
Si deux nombres sont de même signe alors leur produit est positif.
Si deux nombres sont de signes différents alors leur produit est négatif.

Afin de mieux retenir cette règle, on écrit de manière simplifiée :

Méthode : Pour effectuer un produit de nombres relatifs :
• on détermine d’abord le signe du produit en utilisant la règle des signes ;
• on multiplie les parties numériques (les nombres sans le signe).

Exemples :
(+5)×(+3) = 5×3 = +15 = 15
(-5)×(-3) = (+15) = 15
(+5)×(-3) = (-15) = -15
(-5)×(+3) = (-15) = -15

Remarque : Si la multiplication possède plus de 2 facteurs, on cherche le signe en regroupant les facteurs par 2.

Exemple :
(-3)×(+2)×(-4)×(-5) = (-6)×(-4)×(-5)
      = (+24)×(-5)
                                  = (-120)
                                  = -120

On peut aussi appliquer la règle suivante : le signe d’un produit de facteurs est :
• Positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs
• Négatif s’il y a un nombre impair de facteurs négatifs

Sur l’exemple précédent, il y a un nombre impair de nombres négatifs donc le résultat est négatif ;
de plus 3 × 2 × 4 × 5 = 120.
Donc (-3) × (+2) × (-4) × (-5) = (-120).

2. Divisions de nombres relatifs

a. Quotients

Règle des signes : cette règle est similaire à celle exposée pour la multiplication de 2 nombres relatifs :
Si deux nombres sont de même signe alors leur quotient est positif
Si deux nombres sont de signes différents alors leur quotient est négatif

Afin de mieux retenir cette règle, on écrit de manière simplifiée :

Méthode : Pour effectuer un quotient de nombres relatifs :
• on détermine d’abord le signe du quotient en utilisant la règle des signes
• on divise les parties numériques (les nombres sans le signe)

Exemples :
(+15) ÷ (+5) = (+3) =  3
(-15) ÷  (-5) = (+3) =  3
(-15) ÷ (+5) =  (-3) = -3
(+15) ÷  (-5) =  (-3) = -3

b. Inverse d'un nombre relatif

L’inverse d’un nombre a est le nombre qui, multiplié par a, donne 1
L’inverse de a est noté :

On a donc :

Exemples :

L’inverse de 0,2 est 5 car 0,2 × 5 = 1

L’inverse de (-0,25) est (-4) car (-0,25) × (-4) = 1

L’inverse de (- 10) est (-0,1) car (-10) × (-0,1) = 1

L’inverse de