Critères de divisibilité
Il faut avoir présent à l'esprit la décomposition d'un entier naturel n sous la forme :

où les nombres ap, ap-1, ..., a1, a0 sont des entiers compris entre 0 et 9, ap étant non nul. Ces entiers naturels sont les chiffres composant le nombre n.
Dans cette décomposition, on remarque que le nombre n possède p+1 chiffres.
Critère de divisibilité par 2 et 5
Preuve
Raisonnons modulo 2. Puisque


Donc :

On raisonne de même pour 5.
Critère de divisibilité par 3 et 9
Preuve
Raisonnons modulo 3. Puisque


Donc

On raisonne de même pour 9.
Critère de divisibilité par 4 et 25
Preuve
Raisonnons modulo 4. Puisque



Donc :

Or, (10 × a1 + a0) est le nombre formé par les deux derniers chiffres. On raisonne de même pour 25.
En pratique, 1 752 est divisible par 4 car 52 l'est. Comment le sait-on ?
52 = 40 + 12 et 40 et 12 sont divisibles par 4. De même, 62 n'est pas divisible par 4 car 62 = 60 + 2 et 60 l'est, mais pas 2.
Les terminaisons possibles des nombres divisibles par 25 sont donc 00, 25, 50 et 75.
Critère de divisibilité par 11
Remarque
La somme alternée de 123 456 est 6 - 5 + 4 - 3 + 2 -1.
Preuve
Raisonnons modulo 11. Pour tout entier naturel h,


Donc, pour tout entier naturel k,

Donc :

Cependant, bien que 18 soit divisible par 6 et par 9, 18 n'est pas divisible par 6 × 9 = 54 parce que 6 et 9 ne sont pas premiers entre eux.
On retrouve ainsi les critères de divisibilité par 10 et 100 et on obtient le critère de divisibilité par 50.
• Critère de divisibilité par 10.
Puisque 10 = 2 × 5, le chiffre des unités de n doit être pair et 0 ou 5, donc ça ne peut être que 0.
• Critère de divisibilité par 100.
Puisque 100 = 4 × 25, le nombre formé par les deux derniers chiffres de n doit être divisible à la fois par 4 et 25, c'est à dire doit être égal à 00.
• Critère de divisibilité par 50.
Puisque 50 = 2 × 25, le chiffre des unités de n doit être pair et doit être 00, ou 25 ou 50 ou 75.
Donc n est divisible par 50, si et seulement si ses deux derniers chiffres sont 00 ou 50.

Fiches de cours les plus recherchées


Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent