Critères de divisibilité
1. Comprendre les critères de divisibilité
Un critère de divisibilité est une condition
simple nécessaire et suffisante pour savoir si un
entier naturel est divisible par un autre.
Il faut avoir présent à l'esprit la décomposition d'un entier naturel n sous la forme :
,
où les nombres ap, ap-1, ..., a1, a0 sont des entiers compris entre 0 et 9, ap étant non nul. Ces entiers naturels sont les chiffres composant le nombre n.
Dans cette décomposition, on remarque que le nombre n possède p+1 chiffres.
Il faut avoir présent à l'esprit la décomposition d'un entier naturel n sous la forme :
,où les nombres ap, ap-1, ..., a1, a0 sont des entiers compris entre 0 et 9, ap étant non nul. Ces entiers naturels sont les chiffres composant le nombre n.
Dans cette décomposition, on remarque que le nombre n possède p+1 chiffres.
2. Énoncés des critères usuels
Dans toute la suite, n désigne un entier
naturel.
Critère de divisibilité par 2 et 5
Preuve
Raisonnons modulo 2. Puisque
,
alors, pour tout entier naturel k > 0,
.
Donc :
.
On raisonne de même pour 5.
Critère de divisibilité par 3 et 9
Preuve
Raisonnons modulo 3. Puisque
,
alors pour tout entier naturel k, 
.
Donc
.
On raisonne de même pour 9.
Critère de divisibilité par 4 et 25
Preuve
Raisonnons modulo 4. Puisque
,
alors pour tout entier naturel 
,
.
Donc :
.
Or, (10 × a1 + a0) est le nombre formé par les deux derniers chiffres. On raisonne de même pour 25.
En pratique, 1 752 est divisible par 4 car 52 l'est. Comment le sait-on ?
52 = 40 + 12 et 40 et 12 sont divisibles par 4. De même, 62 n'est pas divisible par 4 car 62 = 60 + 2 et 60 l'est, mais pas 2.
Les terminaisons possibles des nombres divisibles par 25 sont donc 00, 25, 50 et 75.
Critère de divisibilité par 11
Remarque
La somme alternée de 123 456 est 6 - 5 + 4 - 3 + 2 -1.
Preuve
Raisonnons modulo 11. Pour tout entier naturel h,
et 
.
Donc, pour tout entier naturel k,
: il suffit d'examiner la
parité de k pour le voir.
Donc :
.
Critère de divisibilité par 2 et 5
n est divisible par 2 (respectivement par 5) si et
seulement si son chiffre des unités est pair
(respectivement est 0 ou 5).
Preuve
Raisonnons modulo 2. Puisque
,
alors, pour tout entier naturel k > 0,.Donc :
.On raisonne de même pour 5.
Critère de divisibilité par 3 et 9
n est divisible par 3 (respectivement par 9) si et
seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3
(respectivement par 9).
Preuve
Raisonnons modulo 3. Puisque
,
alors pour tout entier naturel k, .Donc
.On raisonne de même pour 9.
Critère de divisibilité par 4 et 25
n est divisible par 4 (respectivement par 25) si et
seulement si le nombre formé par les deux derniers
chiffres est divisible par 4 (respectivement 25).
Preuve
Raisonnons modulo 4. Puisque
,
alors pour tout entier naturel ,
.Donc :
.Or, (10 × a1 + a0) est le nombre formé par les deux derniers chiffres. On raisonne de même pour 25.
En pratique, 1 752 est divisible par 4 car 52 l'est. Comment le sait-on ?
52 = 40 + 12 et 40 et 12 sont divisibles par 4. De même, 62 n'est pas divisible par 4 car 62 = 60 + 2 et 60 l'est, mais pas 2.
Les terminaisons possibles des nombres divisibles par 25 sont donc 00, 25, 50 et 75.
Critère de divisibilité par 11
n est divisible par 11 si et seulement si la somme
alternée de ses chiffres est divisible par 11.
Remarque
La somme alternée de 123 456 est 6 - 5 + 4 - 3 + 2 -1.
Preuve
Raisonnons modulo 11. Pour tout entier naturel h,
et .Donc, pour tout entier naturel k,
: il suffit d'examiner la
parité de k pour le voir.Donc :
.
3. Mise en garde
Il est tentant d'inventer des critères de
divisibilité sur le modèle de 6. En effet, un
entier naturel n est divisible par 6 si et seulement si il
est divisible à la fois par 2 et par 3 car 2 ×
3 = 6.
Cependant, bien que 18 soit divisible par 6 et par 9, 18 n'est pas divisible par 6 × 9 = 54 parce que 6 et 9 ne sont pas premiers entre eux.
On retrouve ainsi les critères de divisibilité par 10 et 100 et on obtient le critère de divisibilité par 50.
• Critère de divisibilité par 10.
Puisque 10 = 2 × 5, le chiffre des unités de n doit être pair et 0 ou 5, donc ça ne peut être que 0.
• Critère de divisibilité par 100.
Puisque 100 = 4 × 25, le nombre formé par les deux derniers chiffres de n doit être divisible à la fois par 4 et 25, c'est à dire doit être égal à 00.
• Critère de divisibilité par 50.
Puisque 50 = 2 × 25, le chiffre des unités de n doit être pair et doit être 00, ou 25 ou 50 ou 75.
Donc n est divisible par 50, si et seulement si ses deux derniers chiffres sont 00 ou 50.
Cependant, bien que 18 soit divisible par 6 et par 9, 18 n'est pas divisible par 6 × 9 = 54 parce que 6 et 9 ne sont pas premiers entre eux.
On retrouve ainsi les critères de divisibilité par 10 et 100 et on obtient le critère de divisibilité par 50.
• Critère de divisibilité par 10.
Puisque 10 = 2 × 5, le chiffre des unités de n doit être pair et 0 ou 5, donc ça ne peut être que 0.
• Critère de divisibilité par 100.
Puisque 100 = 4 × 25, le nombre formé par les deux derniers chiffres de n doit être divisible à la fois par 4 et 25, c'est à dire doit être égal à 00.
• Critère de divisibilité par 50.
Puisque 50 = 2 × 25, le chiffre des unités de n doit être pair et doit être 00, ou 25 ou 50 ou 75.
Donc n est divisible par 50, si et seulement si ses deux derniers chiffres sont 00 ou 50.
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