Théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone - Maxicours

Théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone

Objectif
Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où ƒ est strictement monotone pour résoudre un problème.
1. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème (admis)

Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels de I.

Pour tout réel k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que ƒ(c) = k. 

Autrement dit, pour tout réel k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), l'équation ƒ(x) = k admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b]. 

Exemple :

L'équation admet au moins une solution dans l'intervalle ]-2 ; 0[.
En effet, posons . Comme tout polynôme, ƒ est une fonction continue. De plus, et .

On voit sur la figure ci-dessous que la courbe d'équation  coupe l'axe des abscisses en un point sur l'intervalle ]-2 ; 0[.
 
2. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : cas des fonctions continues et strictement monotones sur I
Théorème
Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux points de I et k un nombre compris entre ƒ(a) et ƒ(b). De plus, on suppose que ƒ est strictement monotone sur I.
Alors il existe un unique point c compris entre a et b tel que ƒ(c) = k.
Autrement dit, l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution comprise entre a et b.

Remarques :

• Il y a deux ajouts par rapport au théorème des valeurs intermédiaires. D'abord la stricte monotonie de ƒ. Cela signifie que ƒ est soit strictement croissante soit strictement monotone sur I. Ensuite, l'unicité de la solution.
• Le théorème se généralise au cas où ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle ]a ; b[, et que les limites de ƒ aux bornes sont des infinis de signes contraires (et ). On peut adapter le théorème des valeurs intermédiaires et cette généralisation aux cas [a ; b[ et ]a ; b].

Exemples :
• L'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
En effet, la fonction tangente est continue et strictement croissante sur cet intervalle car  . De plus, et  .

• Ce tableau de variation permet de dire que la fonction g est continue et est strictement croissante sur [2 ; 10]. 0 ∈ [-1 ; 10], l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans [2 ; 10].

3. Applications pratiques
a. Utilisation des théorèmes dans des situations variées
Exemple :
Démontrer que l'équation cos x = x admet une solution unique dans l'intervalle ]0 ; π[.
On pose ƒ(x) = cos x - x puis on étudie les variations de la fonction ƒ.
Comme ƒ'(x) = - sin x - 1 < 0 sur et sur . Donc ƒ est strictement décroissante sur [0 ; π].
De plus, ƒ(0) = 1 > 0 et ƒ(π) = -1 - π < 0, donc ƒ(π) < 0 < ƒ(0).
Il en résulte que l'équation ƒ(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle ]0 ; π[. D'où cos x = x aussi.
b. Approximation des solutions
Une fois que l'existence de solution(s) à l'équation ƒ(x) = k est établie, on peut utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur approchée de la (des) solution(s). Il peut être utile d'introduire la fonction x → ƒ(x) - k.
Sur les calculatrices, on utilise les fonctionnalités qui, selon les modèles, se nomment « solve » ou « zeros » et se trouvent soit dans les menus accompagnant le tracé de la courbe (« graph ») soit dans le menu « Math ».
L'essentiel
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l’équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
Pour localiser cette solution, on pourra utiliser sa calculatrice.

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