Simplification de fractions et fractions irréductibles
Objectifs
On peut écrire une fraction sous différentes
formes égales. Parmi ces formes, certaines sont dites
simplifiées ou irréductibles.
Qu’est ce que deux fractions égales ? Comment simplifier une fraction ? Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?
Qu’est ce que deux fractions égales ? Comment simplifier une fraction ? Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?
1. Égalités de fractions
a. Introduction
Comment savoir quelle est la fraction colorée des
figures ci-dessous ?
Exemple 1 :
Pour le savoir, il faut poser la fraction suivante :
, soit 
.
On remarque aussi que le dessin peut se décomposer en 3 « lignes » dont 1 est coloriée. On s’aperçoit donc que
.
En effet, on peut passer de
à 
en divisant le numérateur
et le dénominateur par 4.
Sur le dessin, on a donc colorié
de la surface totale de la
figure.
Exemple 2 :
Sur le dessin ci-contre, on compte 8 triangles, dont 3 colorés. La partie colorée représente donc
de la surface totale de la
figure.
Cette fraction est sous sa forme irréductible, c'est-à-dire qu'elle est sous sa forme la plus réduite.
Exemple 1 :
Pour le savoir, il faut poser la fraction suivante :
, soit .On remarque aussi que le dessin peut se décomposer en 3 « lignes » dont 1 est coloriée. On s’aperçoit donc que
.En effet, on peut passer de
à en divisant le numérateur
et le dénominateur par 4.Sur le dessin, on a donc colorié
de la surface totale de la
figure.Exemple 2 :
Sur le dessin ci-contre, on compte 8 triangles, dont 3 colorés. La partie colorée représente donc
de la surface totale de la
figure.Cette fraction est sous sa forme irréductible, c'est-à-dire qu'elle est sous sa forme la plus réduite.
b. Écritures fractionnaires égales
On ne change pas la valeur d’un quotient si on
multiplie ou divise
le numérateur et le
dénominateur par un même
nombre.
Exemples :
2. Simplifications de fractions
On dit que l’on simplifie une
fraction lorsqu’on l’écrit
avec un numérateur et un dénominateur
plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le
numérateur et le dénominateur par un
même nombre.
Exemple : Simplifier 
.
15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc :
.
On dit que l'on a simplifié
par 5.
.15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc :
.On dit que l'on a simplifié
par 5.
Remarque : On peut présenter la simplification
d’une fraction en barrant les facteurs communs du
numérateur et du dénominateur.
3. Fractions irréductibles
Exemple : On a déjà
simplifié 
en 
, mais on remarque que le
numérateur et le dénominateur sont
divisibles par 3.
En simplifiant par 3, on peut donc écrire :
.
Comme on ne peut plus simplifier
, cette fraction est
irréductible.
en , mais on remarque que le
numérateur et le dénominateur sont
divisibles par 3.En simplifiant par 3, on peut donc écrire :
.Comme on ne peut plus simplifier
, cette fraction est
irréductible.
Une fraction est irréductible lorsque
l’on ne peut plus la simplifier,
c'est-à-dire que son numérateur et son
dénominateur n'ont aucun diviseur commun
autre que 1.
On peut rendre une fraction
irréductible en connaissant les
critères de divisibilité ou en
utilisant la décomposition en facteurs
premiers du numérateur et du
dénominateur.
Exemple :
Écrivons la fraction
sous sa forme irréductible
en utilisant la décomposition en facteurs
premiers.
et 
donc :
en simplifiant la fraction par
.
6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 donc,
qui est une fraction
irréductible.
Écrivons la fraction
sous sa forme irréductible
en utilisant la décomposition en facteurs
premiers. et donc :en simplifiant la fraction par
.6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 donc,
qui est une fraction
irréductible.
L'essentiel
On ne change pas la valeur d'un quotient si on
multiplie ou divise le numérateur et
le dénominateur par un même
nombre.
On dit que l'on simplifie une fraction lorsqu'on l'écrit avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Une fraction est irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier.
On dit que l'on simplifie une fraction lorsqu'on l'écrit avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Une fraction est irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier.
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