Simplification de fractions et fractions irréductibles - Cours de Mathématiques avec Maxicours - Collège

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Simplification de fractions et fractions irréductibles

Objectifs
On peut écrire une fraction sous différentes formes égales. Parmi ces formes, certaines sont dites simplifiées ou irréductibles.
Qu’est ce que deux fractions égales ? Comment simplifier une fraction ? Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?
1. Égalités de fractions
a. Introduction
Comment savoir quelle est la fraction colorée des figures ci-dessous ?

Exemple 1 :


Pour le savoir, il faut poser la fraction suivante : , soit .
On remarque aussi que le dessin peut se décomposer en 3 « lignes » dont 1 est coloriée. On s’aperçoit donc que .
En effet, on peut passer de à en divisant le numérateur et le dénominateur par 4.
Sur le dessin, on a donc colorié de la surface totale de la figure.

Exemple 2 :



Sur le dessin ci-contre, on compte 8 triangles, dont 3 colorés. La partie colorée représente donc de la surface totale de la figure.
Cette fraction est sous sa forme irréductible, c'est-à-dire qu'elle est sous sa forme la plus réduite.



b. Écritures fractionnaires égales
On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Exemples :

2. Simplifications de fractions
On dit que l’on simplifie une fraction lorsqu’on l’écrit avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Exemple : Simplifier .
15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc : .
On dit que l'on a simplifié par 5.
Remarque : On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

3. Fractions irréductibles
Exemple : On a déjà simplifié en , mais on remarque que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 3.
En simplifiant par 3, on peut donc écrire : .
Comme on ne peut plus simplifier , cette fraction est irréductible.
Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
On peut rendre une fraction irréductible en connaissant les critères de divisibilité ou en utilisant la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemple :
Écrivons la fraction sous sa forme irréductible en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
et donc :
en simplifiant la fraction par .
6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 donc, qui est une fraction irréductible.
L'essentiel
On ne change pas la valeur d'un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

On dit que l'on simplifie une fraction lorsqu'on l'écrit avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Une fraction est irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier.

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