Signe d'une expression algébrique - Maxicours

Signe d'une expression algébrique

Objectifs
  • Déterminer le signe d’une expression algébrique du premier degré.
  • Déterminer le signe d’une expression algébrique factorisée du second degré.
Points clés
  • Étudier le signe d'une expression algébrique d'inconnue  revient à chercher pour quelles valeurs de  cette expression est positive ou nulle, et pour quelles valeurs de  elle est négative ou nulle. Cela revient à résoudre deux inéquations d'inconnue .
  • Le signe d’une expression de la forme  dépend du signe de .
  • Étudier le signe d'une expression de la forme  revient à étudier séparément le signe des facteurs  et  puis à appliquer la règle des signes.
  • Cela revient à résoudre les inéquations  et .
    Pour cela, on utilise un tableau de signes.
  • Pour étudier le signe d'une expression factorisée à l'aide d'un tableau de signes :
    • Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.
    • Placer les 0 dans le tableau.
    • Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
    • Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
Pour bien comprendre
  • Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue
  • Intervalles
1. Définition
Étudier le signe d'une expression algébrique d'inconnue  revient à chercher pour quelles valeurs de  cette expression est positive ou nulle, et pour quelles valeurs de  elle est négative ou nulle. Cela revient à résoudre deux inéquations d'inconnue .
Exemple
Étudier le signe de l'expression .
Cela revient à chercher l'ensemble des valeurs de  pour lesquelles l'expression est positive ou nulle, et l'ensemble des valeurs de  pour lesquelles l'expression est négative ou nulle. On cherche donc à résoudre les inéquations  et .
On obtient : 
 pour .
 pour .
Remarque
Il est possible de présenter le résultat de l'étude de signe sous la forme d'un tableau de signes. Pour l'exemple précédent, on obtient alors :
2. Signe d'une expression algébrique du premier degré
a. Cas général
Rappel
Une expression algébrique du premier degré s'écrit sous la forme , avec et et .

Étudier le signe de  revient à résoudre les deux inéquations  et .

Résolvons la première inéquation. On a :
 si m > 0 (l'inégalité garde le même sens).
 si m < 0 (l'inégalité change de sens).

Résolvons la deuxième inéquation. On a : 
 si m > 0 (l'inégalité garde le même sens).
 si m < 0 (l'inégalité change de sens).

On en déduit que le signe d’une expression de la forme  dépend du signe de .
Si , alors le tableau de signes de l'expression est le suivant :

Si , alors le tableau de signes de l'expression est le suivant :

b. Exemples
Exemple 1
Étudier le signe de l'expression .
Pour cela, on cherche à résoudre les inéquations  et .
On obtient pour la première inéquation : 

On en déduit, pour la deuxième inéquation : 

 On obtient donc le tableau de signes de l'expression  : 

Exemple 2
Étudier le signe de l'expression .
Pour cela, on cherche à résoudre les inéquations  et .
On obtient pour la première inéquation :

On en déduit, pour la deuxième inéquation : 

On obtient donc le tableau de signes de l'expression  :

Remarque
Dans chacun des exemples, on aurait pu déduire directement le tableau de signes de l'expression à partir du signe du coefficient m.
3. Signe d'une expression algébrique factorisée du second degré
a. Principe
Rappel
Une expression algébrique factorisée du second degré s'écrit sous la forme , avec , , et , et .
Étudier le signe d'une telle expression revient à étudier séparément le signe des facteurs  et  puis à appliquer la règle des signes.
Cela revient à résoudre les inéquations  et .
Pour cela, on utilise un tableau de signes.
b. Règle des signes
  • Le produit de deux nombres négatifs est positif.
  • Le produit de deux nombres positifs est positif.
  • Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.
Exemples
(négatif par positif donne négatif).
(positif par positif donne positif).
(négatif par négatif donne positif).
c. Méthode et exemple
Méthode

Pour étudier le signe d'une expression factorisée à l’aide d’un tableau de signes :

  1. Déterminer la valeur de qui annule chacun des facteurs.
  2. Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.
  3. Placer les 0 dans le tableau.
  4. Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
  5. Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
Exemple
Étudier le signe de l'expression .
Cela revient à résoudre les inéquations  et .
On applique la méthode précédente.
  1. On détermine la valeur de qui annule chacun des facteurs.

  2. On construit un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.

  3. On place les 0 dans le tableau, en utilisant l’étape 1.
    s’annule pour et pour .

  4. On place les signes en repérant le signe du coefficient de dans chacun des facteurs. Ici, chaque coefficient est positif donc, d’après le signe d’une expression algébrique du premier degré, l’expression est négative avant le 0 et positive après le 0.

  5. On applique la règle des signes par colonne. La dernière ligne du tableau indique le signe de l'expression algébrique .

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