Rappels sur les suites numériques : définition, génération, notation
- Comprendre la notion de suite, les différentes notations.
- Connaitre différentes manières de définir une suite.
- Calculer un terme de rang donné d'une suite.
- Modéliser une situation par une suite, établir une relation de récurrence.
- Représenter graphiquement une suite.
- Une suite se définit de manière explicite
(
) ou par récurrence
(
).
- Pour une suite définie par une fonction, de
terme général du type
, on peut calculer
directement un terme de rang donné grâce
à l'expression algébrique de la
fonction 
.
- Pour une suite définie par récurrence, de
terme général du type
, il faut calculer chaque
terme un par un, en fonction du précédent,
avant de pouvoir calculer un terme de rang donné.
- Une suite ne se représente pas par une courbe au tracé continu, mais par un nuage de points non reliés.
- Calcul algébrique
- Notion de fonction
- Repérage dans le plan
- On note
ou 
la suite de
nombres.
Par abus de langage on s’autorise aussi à la noter
, ce qui n’est pas
une notation générale.
- Ses termes sont notés
, 
, 
, etc.
ou 
, 
, 
, etc.
- Le terme général se
note
ou 
.
-
= {0 ; 1 ;
3 ; 8 ; 2 ; 11 ; 3 ; 7}
est une suite (finie) de huit nombres sans raison
apparente. On n’est pas capable de
décider de la valeur du terme qui viendrait
après le dernier donné.
-
: 0 ;
1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
5 ; … on peut penser que le terme
suivant sera
« logiquement » 6.
-
: 2 ;
3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ;
17 ; 19… est le début de la
suite des nombres premiers (qui ne sont divisibles
que par 1 et eux-mêmes). Le suivant
sera 23.
On donne une relation, une formule, 
permettant
de calculer chacun des termes.
- Pour tout entier naturel
, 
.
Le premier terme sera
, le
second 
, le
3e 
, le
15e 
.
- Pour tout entier naturel
non
nul, 
.
Le premier terme sera
, le
second 
, le
10e terme sera 
.
Pour générer une suite par récurrence, on donne le premier terme ainsi qu’une relation permettant de passer d’un terme au suivant.
- Pour tout entier naturel
, on
pose 
et 
.
Le premier terme est donné, c'est. Le
2e terme sera 
, le
3e 
.
Il n’est pas possible de calculer le 15e terme sans avoir calculé tous les termes précédents, si l'on dispose seulement de cette relation de récurrence. - Pour tout entier naturel
, on
pose 
et 
.
Le premier terme est donné, c’est. Le
2e sera 
, le
3e 
.
La suite est constante. Dans ce cas, il est facile de calculer n’importe quel terme.
On considère un triangle
équilatéral de côté
8 cm, que l'on note 
:
On considère le milieu de chacun des
côtés, puis on relie ces milieux, formant
ainsi 4 triangles équilatéraux. On
éclaircit le triangle
« central » obtenant ainsi la
figure 
:
Puis on itère l'opération, c'est à
dire qu'on applique à chaque triangle kaki le
découpage qui a permis de passer de 
à 
, ce qui donne par exemple les
figures 
et 
:
|
|
On définit ainsi la célèbre
suite 
des triangles de
Sierpinski, qui permet à son tour de
considérer différentes suites, par
exemple :
- la suite
du nombre de
triangles kaki à l'intérieur
de 
à
l'étape 
;
- la suite
du nombre de
triangles vert d'eau à l'intérieur
de 
à
l'étape 
;
- la suite
du
périmètre d'un triangle vert d'eau apparu
à l'étape 
;
- la suite
de l'aire d'un
triangle vert d'eau apparu à
l'étape 
.
Les premiers termes de
sont : 
, 
, 
, 
et comme
chaque triangle kaki génère à
l'étape suivante 3 triangles kaki
et 1 vert d'eau, on a la relation de
récurrence 
.
Dans le plan muni d’un repère, on place les
points de coordonnées 
.
Soit
définie
par 
.On peut calculer la valeur de quelques termes, puis en faire une représentation graphique (points non reliés).
On trouvera (valeurs arrondies au dixième)
; 
; 
; 
; 
; 
; 
… que l’on place dans le plan
muni d’un repère.
Une calculatrice en mode fonction ou un tableur mal initialisé donnent une représentation graphique erronée. Les points ne doivent pas être reliés (bien choisir le mode d’affichage pour le tableur et placer la calculatrice en mode « suite » et points non reliés).
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