Propriétés des fonctions sinus et cosinus - Maxicours

Propriétés des fonctions sinus et cosinus

Objectif(s)
• Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
• Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.
Vous avez déjà fait la découverte des fonctions affines de la forme y = mx + p, de la fonction carrée y = x2, des fonctions trinômes de degré deux définies par y = ax2 + bx + c, de la fonction inverse y = , des fonctions homographiques , ou encore de la fonction racine carrée .

Découvrons désormais les fonctions sinus et cosinus, y = sin(x) et y = cos(x).

Soit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
Les valeurs de sinus et cosinus (sur sont répertoriées dans le tableau ci-dessous (construit dans le sens trigonométrique) : 
 
x 0
sin(x) 0 1
cos(x) 1 0

Le plan est muni d'un repère orthonormal .
1. Rappel de définitions
a. Définition 1
À tout réel x, on associe un unique point M du cercle C vérifiant , la mesure de l’angle orienté étant le radian.
À tout point M du cercle C, il existe une infinité de réels mesurant . Si l’un d’entre eux se note x, alors les autres valent x + k × 2π, où k est un entier relatif quelconque.

b. Définition 2
Avec les notations de la première définition, le point M a pour coordonnées , couple de réels.

Sur la droite du repère (I,K), le point A a pour abscisse x.

En "enroulant" le segment [IA] autour du cercle trigonométrique, on remarque que A est le point associé à M.

La longueur de l'arc est donc égale à x et l'angle orienté associé mesure x radians.
M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).


 
 

 
2. Définitions et propriétés
a. Définition 3
On appelle fonction sinus, la fonction définie sur par x → sin(x). On la note sin.
On appelle fonction cosinus, la fonction définie sur par x → cos(x). On la note cos.

Les courbes de ces fonctions sont toutes deux appelées des sinusoïdes. On les notera ici Csin et Ccos.
b. Propriété 1
• Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :


et
.

• On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période .

En effet, l’enroulement sur le cercle trigonométrique des points de la droite de repère (IK) d’abscisses x et génère le même point M, puisque le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π.

Remarques

Comme sin((x - 2) + 2) = sin(x - 2π), soit sin(x) = sin(x - 2π).

Conséquences graphiques :


   • Pour Csin, si un point M d’abscisse x est un point de Csin, alors un point N de Csin d’abscisse (x + 2) a pour ordonnée celle du point M.

On dispose ainsi de l’égalité et il suffit alors de tracer Csin sur un intervalle d’amplitude 2, par exemple l’intervalle , puis de compléter le tracé par des translations successives de vecteurs .

   • Il en est de même pour Ccos.


c. Propriété 2
• Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :


et
.

• On dit que la fonction sinus est une fonction impaire, tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.

En effet, si le point M est un point du cercle trigonométrique tel que , alors le point M’ symétrique de M par rapport à (OI) est un point du cercle trigonométrique tel que .
Ainsi, par cette considération de symétrie :
M’(xM ; -yM) soit M’(cos(x) ; -sin(x)).

Mais par définition de son repérage circulaire :
M’(cos(-x) ; sin(-x)), l’unicité des coordonnées d’un point termine la démonstration.

Conséquences graphiques :

Pour Csin, si un point M d’abscisse x est un point de Csin, alors le point M’ de Csin d’abscisse (-x) a une ordonnée opposée à celle du point M.
Ainsi, M’ est le symétrique de M par rapport à O.
Le point O, origine du repère est donc un centre de symétrie de la courbe Csin.


 
• Pour Ccos, si un point M d’abscisse x est un point de Ccos, alors le point M’’ de Ccos d’abscisse (-x) a une ordonnée égale à celle du point M.
Ainsi, M’’ est le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées . C'est donc un axe de symétrie de la fonction cosinus.


 

d. Propriété 3
Pour tout réel x, on dispose des égalités : .

On admet ces deux égalités.
La démonstration "repose" sur la symétrie du point M de repérage circulaire x par rapport à la droite d’équation y = x. Une figure permet de visualiser clairement ces égalités.

Conséquences graphiques :

Si C est un point d’abscisse x de Ccos, alors le point S d’abscisse de Csin a la même ordonnée que C.
Ainsi, .
Ccos se déduit de Csin par translation de vecteur .



 
À l’aide de ces propriétés, on peut tracer les courbes Csin et Ccos.
Pour cela, on utilisera les valeurs remarquables de sinus et de cosinus.
On tracera d’abord Csin sur [0 ; ], puis par symétrie sur [ ; 0] (propriété 2), puis on effectuera des translations (propriété 1).
On déduira Ccos de Csin par translation (propriété 3).




Remarque

Graphiquement, on constate que pour tout réel x, sin(x) et cos(x) sont des nombres compris entre -1 et 1. On le savait déjà de par la définition du cercle trigonométrique.

On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur , à savoir minorée par -1 et majorée par 1.


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