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Propriétés des fonctions sinus et cosinus

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Objectif(s)

• Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
• Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.

Vous avez déjà fait la découverte des fonctions affines de la forme y = mx + p, de la fonction carrée y = x², des fonctions trinômes de degré deux définies par y = ax² + bx + c, de la fonction inverse y =

, des fonctions homographiques

, ou encore de la fonction racine carrée

.

Découvrons désormais les fonctions sinus et cosinus, y = sin(x) et y = cos(x).

Soit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
Les valeurs de sinus et cosinus (sur

sont répertoriées dans le tableau ci-dessous (construit dans le sens trigonométrique) :

x	0
sin(x)	0	1
cos(x)	1	0

Le plan est muni d'un repère orthonormal

1. Rappel de définitions

a. Définition 1

À tout réel x, on associe un unique point M du cercle C vérifiant

, la mesure de l’angle orienté étant le radian.
À tout point M du cercle C, il existe une infinité de réels mesurant

. Si l’un d’entre eux se note x, alors les autres valent x + k × 2π, où k est un entier relatif quelconque.

b. Définition 2

Avec les notations de la première définition, le point M a pour coordonnées

, couple de réels.

Sur la droite du repère (I,K), le point A a pour abscisse x.

En "enroulant" le segment [IA] autour du cercle trigonométrique, on remarque que A est le point associé à M.

La longueur de l'arc

est donc égale à x et l'angle orienté associé mesure x radians.
M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).

2. Définitions et propriétés

a. Définition 3

On appelle fonction sinus, la fonction définie sur

par x → sin(x). On la note sin.
On appelle fonction cosinus, la fonction définie sur

par x → cos(x). On la note cos.

Les courbes de ces fonctions sont toutes deux appelées des sinusoïdes. On les notera ici C_sin et C_cos.

b. Propriété 1

• Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :

.

• On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période

En effet, l’enroulement sur le cercle trigonométrique des points de la droite de repère (IK) d’abscisses x et

génère le même point M, puisque le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π.

Remarques

Comme sin((x - 2

) + 2

) = sin(x - 2π), soit sin(x) = sin(x - 2π).

Conséquences graphiques :

• Pour C_sin, si un point M d’abscisse x est un point de C_sin, alors un point N de C_sin d’abscisse (x + 2

) a pour ordonnée celle du point M.

On dispose ainsi de l’égalité

et il suffit alors de tracer C_sin sur un intervalle d’amplitude 2

, par exemple l’intervalle

, puis de compléter le tracé par des translations successives de vecteurs

.

• Il en est de même pour C_cos.

c. Propriété 2

• Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :

.

• On dit que la fonction sinus est une fonction impaire, tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.

En effet, si le point M est un point du cercle trigonométrique tel que

, alors le point M’ symétrique de M par rapport à (OI) est un point du cercle trigonométrique tel que

.
Ainsi, par cette considération de symétrie :
M’(x_M ; -y_M) soit M’(cos(x) ; -sin(x)).

Mais par définition de son repérage circulaire :
M’(cos(-x) ; sin(-x)), l’unicité des coordonnées d’un point termine la démonstration.

Conséquences graphiques :

• Pour C_sin, si un point M d’abscisse x est un point de C_sin, alors le point M’ de C_sin d’abscisse (-x) a une ordonnée opposée à celle du point M.
Ainsi, M’ est le symétrique de M par rapport à O.
Le point O, origine du repère est donc un centre de symétrie de la courbe C_sin.

• Pour C_cos, si un point M d’abscisse x est un point de C_cos, alors le point M’’ de C_cos d’abscisse (-x) a une ordonnée égale à celle du point M.
Ainsi, M’’ est le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées

. C'est donc un axe de symétrie de la fonction cosinus.

d. Propriété 3

Pour tout réel x, on dispose des égalités :

On admet ces deux égalités.
La démonstration "repose" sur la symétrie du point M de repérage circulaire x par rapport à la droite d’équation y = x. Une figure permet de visualiser clairement ces égalités.

Conséquences graphiques :

Si C est un point d’abscisse x de C_cos, alors le point S d’abscisse

de C_sin a la même ordonnée que C.
Ainsi,

.
C_cos se déduit de C_sin par translation de vecteur

À l’aide de ces propriétés, on peut tracer les courbes C_sin et C_cos.
Pour cela, on utilisera les valeurs remarquables de sinus et de cosinus.
On tracera d’abord C_sin sur [0 ;

], puis par symétrie sur [

; 0] (propriété 2), puis on effectuera des translations (propriété 1).
On déduira C_cos de C_sin par translation (propriété 3).

Remarque

Graphiquement, on constate que pour tout réel x, sin(x) et cos(x) sont des nombres compris entre -1 et 1. On le savait déjà de par la définition du cercle trigonométrique.

On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur , à savoir minorée par -1 et majorée par 1.