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Propriétés des fonctions sinus et cosinus

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Objectif(s)

Connaître les fonctions sinus et cosinus.
Connaitre quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.

Points clés

Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.
Elles sont périodiques de période .
La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que pour tout x de :
La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au centre du repère O.
La fonction sinus est impaire, ce qui signifie que pour tout x de :

1. Rappels

a. Points du cercle trigonométrique et réels associés

Soit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

À tout réel x, on associe un unique point M du cercle C vérifiant

, la mesure de l’angle orienté étant le radian.
À tout point M du cercle C, il existe une infinité de réels mesurant

. Si l’un d’entre eux se note x, alors les autres valent x + k × 2π, où k est un entier relatif quelconque.

b. Coordonnées

Avec les notations de la première définition, le point M a pour coordonnées

, couple de réels.

Sur la droite du repère (I,K), le point A a pour abscisse x.

En "enroulant" le segment [IA] autour du cercle trigonométrique, on remarque que A est le point associé à M.

La longueur de l'arc est donc égale à x et l'angle orienté associé mesure x radians.
M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).

c. Valeurs remarquables

Les valeurs de sinus et cosinus (sur ) sont répertoriées dans le tableau ci-dessous (construit dans le sens trigonométrique) :

x	0
sin(x)	0	1
cos(x)	1	0

Le plan est muni d'un repère orthonormal .

2. Fonctions sinus et cosinus

a. Définitions

On appelle fonction sinus, la fonction définie sur

par x → sin(x). On la note sin.

On appelle fonction cosinus, la fonction définie sur

par x → cos(x). On la note cos.

Les courbes de ces fonctions sont toutes deux appelées des sinusoïdes. On les notera ici C_sin et C_cos.

b. Périodicité

Propriété 1

Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :

.

On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période

En effet, l’enroulement sur le cercle trigonométrique des points de la droite de repère (IK) d’abscisses x et génère le même point M, puisque le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π.

Remarque : sin((x - 2

) + 2

) = sin(x - 2π), soit sin(x) = sin(x - 2π).

Conséquences graphiques

Pour C_sin, si un point M d’abscisse x est un point de C_sin, alors un point N de C_sin d’abscisse (x + 2) a pour ordonnée celle du point M. On dispose ainsi de l’égalité et il suffit alors de tracer C_sin sur un intervalle d’amplitude 2, par exemple l’intervalle , puis de compléter le tracé par des translations successives de vecteurs .
Il en est de même pour C_cos.

c. Parité

Propriété 2

Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :

.

On dit que la fonction sinus est une fonction impaire, tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.

En effet, si le point M est un point du cercle trigonométrique tel que , alors le point M’ symétrique de M par rapport à (OI) est un point du cercle trigonométrique tel que .
Ainsi, par cette considération de symétrie :
M’(x_M ; -y_M) soit M’(cos(x) ; -sin(x)).

Mais par définition de son repérage circulaire :
M’(cos(-x) ; sin(-x)), l’unicité des coordonnées d’un point termine la démonstration.

Conséquences graphiques

Pour C_sin, si un point M d’abscisse x est un point de C_sin, alors le point M’ de C_sin d’abscisse (-x) a une ordonnée opposée à celle du point M. Ainsi, M’ est le symétrique de M par rapport à O.
Le point O, origine du repère est donc un centre de symétrie de la courbe C_sin.

Pour C_cos, si un point M d’abscisse x est un point de C_cos, alors le point M’’ de C_cos d’abscisse (-x) a une ordonnée égale à celle du point M. Ainsi, M’’ est le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées .
L'axe des ordonnées est donc un axe de symétrie de la fonction cosinus.

d. Symétries

Propriété 3

Pour tout réel x, on dispose des égalités :

On admet ces deux égalités.
La démonstration "repose" sur la symétrie du point M de repérage circulaire x par rapport à la droite d’équation y = x. Une figure permet de visualiser clairement ces égalités.

Conséquences graphiques

Si C est un point d’abscisse x de C_cos, alors le point S d’abscisse

de C_sin a la même ordonnée que C.
Ainsi,

.
C_cos se déduit de C_sin par translation de vecteur

À l’aide de ces propriétés, on peut tracer les courbes C_sin et C_cos.
Pour cela, on utilisera les valeurs remarquables de sinus et de cosinus.
On tracera d’abord C_sin sur [0 ; ], puis par symétrie sur [ ; 0] (propriété 2), puis on effectuera des translations (propriété 1).
On déduira C_cos de C_sin par translation (propriété 3).

Remarque
Graphiquement, on constate que pour tout réel x, sin(x) et cos(x) sont des nombres compris entre -1 et 1. On le savait déjà de par la définition du cercle trigonométrique.
On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur , à savoir minorée par -1 et majorée par 1.