Propriétés des fonctions sinus et cosinus
• Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.



Découvrons désormais les fonctions sinus et cosinus, y = sin(x) et y = cos(x).
Soit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
Les valeurs de sinus et cosinus (sur

x | 0 |
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sin(x) | 0 |
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1 |
cos(x) | 1 |
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0 |
Le plan est muni d'un repère orthonormal


À tout point M du cercle C, il existe une infinité de réels mesurant


Sur la droite du repère (I,K), le point A a pour abscisse x.
En "enroulant" le segment [IA] autour du cercle trigonométrique, on remarque que A est le point associé à M.
La longueur de l'arc

M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).

On appelle fonction cosinus, la fonction définie sur

Les courbes de ces fonctions sont toutes deux appelées des sinusoïdes. On les notera ici Csin et Ccos.

et

• On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période

En effet, l’enroulement sur le cercle trigonométrique des points de la droite de repère (IK) d’abscisses x et

Remarques
Comme sin((x - 2


Conséquences graphiques :
• Pour Csin, si un point M d’abscisse x est un point de Csin, alors un point N de Csin d’abscisse (x + 2

On dispose ainsi de l’égalité




• Il en est de même pour Ccos.


et

• On dit que la fonction sinus est une fonction impaire, tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.
En effet, si le point M est un point du cercle trigonométrique tel que


Ainsi, par cette considération de symétrie :
M’(xM ; -yM) soit M’(cos(x) ; -sin(x)).
Mais par définition de son repérage circulaire :
M’(cos(-x) ; sin(-x)), l’unicité des coordonnées d’un point termine la démonstration.
Conséquences graphiques :
• Pour Csin, si un point M d’abscisse x est un point de Csin, alors le point M’ de Csin d’abscisse (-x) a une ordonnée opposée à celle du point M.
Ainsi, M’ est le symétrique de M par rapport à O.
Le point O, origine du repère est donc un centre de symétrie de la courbe Csin.

Ainsi, M’’ est le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées



On admet ces deux égalités.
La démonstration "repose" sur la symétrie du point M de repérage circulaire x par rapport à la droite d’équation y = x. Une figure permet de visualiser clairement ces égalités.
Si C est un point d’abscisse x de Ccos, alors le point S d’abscisse

Ainsi,

Ccos se déduit de Csin par translation de vecteur


Pour cela, on utilisera les valeurs remarquables de sinus et de cosinus.
On tracera d’abord Csin sur [0 ;


On déduira Ccos de Csin par translation (propriété 3).




Graphiquement, on constate que pour tout réel x, sin(x) et cos(x) sont des nombres compris entre -1 et 1. On le savait déjà de par la définition du cercle trigonométrique.
On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur


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