Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
• Savoir exploiter un arbre pondéré pour déterminer des probabilités
On choisit un bonbon au hasard dans ce sachet. On note :
• A : l’événement : « le bonbon choisi est acidulé »
• G : l’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve »
• F : l’événement : « le bonbon choisi est à la fraise »
• O : l’événement : « le bonbon choisi est au parfum orange »
E est l’ensemble de tous les bonbons.
On a


L’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve et au parfum orange » se note



Supposons maintenant la condition suivante réalisée : « le bonbon choisi est à la guimauve »
Quelle est alors la probabilité que le bonbon choisi soit au parfum orange ?
Cette probabilité se note PG(O). C’est la probabilité que l’événement O se réalise sachant que l’événement G est réalisé. Ici l’ensemble de référence n’est plus E mais l’ensemble des bonbons à la guimauve :

On a aussi




![]() |
L’ensemble de référence
n’est plus l’univers E mais devient
l’événement A. On étudie B parmi A, c’est-à-dire ![]() Ainsi, ![]() Il s’agit d’une nouvelle probabilité, dite probabilité conditionnelle définie sur l’univers E. Elle a toutes les propriétés d’une probabilité. |







De la définition, on déduit la propriété suivante :

(1)


(2)



Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante : la probabilité de la branche reliant A à B est

Un chemin est une suite de branches ; il représente l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d’un chemin est la probabilité de l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.
Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches.

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1 (P1).
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin (P2).
Exemples d’application de la formule des probabilités totales :
• Exemple 1 : la probabilité de choisir un bonbon au parfum à l’orange est :



• Exemple 2 : un magasin de sport propose des réductions sur les trois marques de vêtements qu’il distribue. La marque A représente 64 % des vêtements vendus ; la marque N, 28 % ; la marque O en représente 8 %.
30 % des vêtements de la marque A, 60 % de la marque N et 80 % de ceux de la marque O sont soldés.
On interroge au hasard un client ayant acheté un vêtement de sport.
La probabilité que le client interrogé ait acheté un vêtement soldé est :




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