Probabilité conditionnelle et arbre pondéré - Cours de Mathématiques Terminale L avec Maxicours - Lycée

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Probabilité conditionnelle et arbre pondéré

Objectif
• Savoir calculer une probabilité conditionnelle
• Savoir exploiter un arbre pondéré pour déterminer des probabilités


Dans tout le chapitre, E désigne l’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire. Cet ensemble est appelé l’univers.


1. Probabilité conditionnelle
a. Un exemple pour comprendre
Un sachet de 100 bonbons contient 40 bonbons acidulés, les autres bonbons sont à la guimauve. 18 des bonbons à la guimauve sont au parfum orange et 10 bonbons sont acidulés et au parfum orange. Les bonbons qui ne sont pas au parfum orange sont à la fraise.

On choisit un bonbon au hasard dans ce sachet. On note :
• A : l’événement : « le bonbon choisi est acidulé »
• G : l’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve »
• F : l’événement : « le bonbon choisi est à la fraise »
• O : l’événement : « le bonbon choisi est au parfum orange »

E est l’ensemble de tous les bonbons.

On a  et 

L’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve et au parfum orange » se note .


et 

Supposons maintenant la condition suivante réalisée : « le bonbon choisi est à la guimauve »
Quelle est alors la probabilité que le bonbon choisi soit au parfum orange ?
Cette probabilité se note PG(O). C’est la probabilité que l’événement O se réalise sachant que l’événement G est réalisé. Ici l’ensemble de référence n’est plus E mais l’ensemble des bonbons à la guimauve :



On a aussi 


b. Définition
Définition : soient A et B deux événements de E, avec . La probabilité conditionnelle de B sachant A (probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événement A est réalisé) est le nombre noté  défini par : .

L’ensemble de référence n’est plus l’univers E mais devient l’événement A.

On étudie B parmi A, c’est-à-dire dans A.

Ainsi,

Il s’agit d’une nouvelle probabilité, dite probabilité conditionnelle définie sur l’univers E. Elle a toutes les propriétés d’une probabilité.
 

Propriété P1 :  et   où  est l'événement contraire de B.

c. Application à l'exemple
et 

car F est l’événement contraire de O ; en effet, si un bonbon n’est pas au parfum orange, il est à la fraise : .

De la définition, on déduit la propriété suivante :
• Propriété P2 : peut se calculer de deux façons :
  (1)    (avec )
  (2)    (avec )
2. Arbre pondéré et formule des probabilités totales
a. Arbre pondéré
Dans le cas d’une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers E, on peut modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré. Pour cela, on peut envisager deux niveaux de branches : un premier niveau qui indique la probabilité de l’événement A, puis un second niveau qui permet de figurer les probabilités conditionnelles en rapport avec l’événement B.


Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante : la probabilité de la branche reliant A à B est  .
Un chemin est une suite de branches ; il représente l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d’un chemin est la probabilité de l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.
Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches.



 
Règles
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1 (P1).
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin (P2).
b. Formule des probabilités totales
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à l’événement, on appelle cette probabilité la formule des probabilités totales.

Exemples d’application de la formule des probabilités totales :

Exemple 1 : la probabilité de choisir un bonbon au parfum à l’orange est :







Exemple 2 : un magasin de sport propose des réductions sur les trois marques de vêtements qu’il distribue. La marque A représente 64 % des vêtements vendus ; la marque N, 28 % ; la marque O en représente 8 %.
30 % des vêtements de la marque A, 60 % de la marque N et 80 % de ceux de la marque O sont soldés.
On interroge au hasard un client ayant acheté un vêtement de sport.

La probabilité que le client interrogé ait acheté un vêtement soldé est :






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