Modéliser l'évolution de la température d'un système incompressible - Maxicours

Modéliser l'évolution de la température d'un système incompressible

Objectif

Modéliser l’évolution de la température d’un système incompressible.

Points clés
  • Lorsqu’un système incompressible de température initiale T0 est mis en contact avec un thermostat (dispositif dont la température reste constante), sa température évolue pour atteindre celle du thermostat dans l’état final.
  • La loi phénoménologique de Newton permet de déterminer l’expression de la température du système en fonction du temps.
    Cette loi est représentée par une équation différentielle :

  • La solution de cette équation s’obtient en utilisant la condition initiale (T(0) = T0) et la condition finale (T(t→∞) = Tthermostat) :

T(t) = Tthermostat + (T0 – Tthermostat) × eαt

Pour bien comprendre

Équation différentielle du premier ordre

1. L'évolution de la température d'un système
Un thermostat est un dispositif dont la température reste constante, quels que soient les systèmes qui sont en contact avec lui.

On considère un système incompressible (c’est-à-dire dont le volume ne peut pas varier) au contact d’un thermostat. Ce système de température initiale T0 va voir sa température évoluer au cours du temps et tendre vers celle du thermostat.


Évolution de la température d’un système
au contact d’un thermostat

Le système est incompressible, celui-ci échange donc uniquement de l’énergie thermique avec le thermostat : le travail W est nul et le transfert thermique Q est non nul.

La température du système, initialement à une valeur Tinitial = T0, évolue pour atteindre la valeur Tfinal = Tthermostat.

  • Si T0 > Tthermostat : le transfert thermique est négatif (car le système cède de l’énergie thermique au thermostat) et la température va diminuer.
  • Si T0 < Tthermostat : le transfert thermique est positif (car le système reçoit de l’énergie thermique du thermostat) et la température va augmenter.
Remarque
La température peut avoir pour unité le kelvin (K) ou le degré Celsius (°C). Ces deux unités sont liées par la relation T(K) = t(°C) 273.
2. La loi phénoménologique de Newton
La loi phénoménologique de Newton indique que la variation temporelle de la température T d’un système incompressible (c’est-à-dire dont le volume ne peut pas varier) au contact d’un thermostat, est proportionnelle à la différence de température entre celle du système T et celle du thermostat Tthermostat.
avec :
  • T(t) la température du système au cours du temps, en kelvin (K)
  • Tthermostat la température du thermostat, en kelvin (K)
  • α une constante positive qui est une caractéristique du système, en par seconde (s1)
  • t la durée, en seconde (s)

La loi phénoménologique de Newton est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant.

La solution d’une telle équation différentielle a pour expression :

T(t) = A + B × eαt

Les coefficients A et B sont déterminés à partir de la condition initiale et de la condition finale associées à la température T(t).

  • Condition initiale : T(0) = T0 ;
  • Condition finale : T(t→∞) = Tthermostat.

On a :

      T(0) = T0
⟺ A + B × e
0 = T0
⟺ A + B = T
0
      T(t→∞) = Tthermostat
⟺ A + B × 
0 = Tthermostat (car e–∞ = 0)
⟺ A = 
Tthermostat

On obtient donc :

      A + B = T0
⟺ T
thermostat B = T0
⟺ B = T
0 – Tthermostat

La solution de la loi phénoménologique de Newton a donc l’expression suivante.

T(t) Tthermostat + (T0 – Tthermostat) × eαt

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