Modéliser l'évolution de la température d'un système incompressible
Modéliser l’évolution de la température d’un système incompressible.
- Lorsqu’un système incompressible de température initiale T0 est mis en contact avec un thermostat (dispositif dont la température reste constante), sa température évolue pour atteindre celle du thermostat dans l’état final.
- La loi phénoménologique de Newton permet
de déterminer l’expression de la
température du système en fonction du
temps.
Cette loi est représentée par une équation différentielle :
- La solution de cette équation s’obtient en utilisant la condition initiale (T(0) = T0) et la condition finale (T(t→∞) = Tthermostat) :
T(t) = Tthermostat + (T0 – Tthermostat) × e–αt
Équation différentielle du premier ordre
On considère un système incompressible (c’est-à-dire dont le volume ne peut pas varier) au contact d’un thermostat. Ce système de température initiale T0 va voir sa température évoluer au cours du temps et tendre vers celle du thermostat.
Évolution de la température d’un système
au contact d’un thermostat
Le système est incompressible, celui-ci échange donc uniquement de l’énergie thermique avec le thermostat : le travail W est nul et le transfert thermique Q est non nul.
La température du système, initialement à une valeur Tinitial = T0, évolue pour atteindre la valeur Tfinal = Tthermostat.
- Si T0 > Tthermostat : le transfert thermique est négatif (car le système cède de l’énergie thermique au thermostat) et la température va diminuer.
- Si T0 < Tthermostat : le transfert thermique est positif (car le système reçoit de l’énergie thermique du thermostat) et la température va augmenter.
La température peut avoir pour unité le kelvin (K) ou le degré Celsius (°C). Ces deux unités sont liées par la relation T(K) = t(°C) + 273.
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avec :
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La loi phénoménologique de Newton est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant.
La solution d’une telle équation différentielle a pour expression :
T(t) = A + B × e–αt
Les coefficients A et B sont déterminés à partir de la condition initiale et de la condition finale associées à la température T(t).
- Condition initiale : T(0) = T0 ;
- Condition finale : T(t→∞) = Tthermostat.
On a :
|
T(0) = T0 ⟺ A + B × e–0 = T0 ⟺ A + B = T0 |
T(t→∞) = Tthermostat ⟺ A + B × 0 = Tthermostat (car e–∞ = 0) ⟺ A = Tthermostat |
On obtient donc :
A + B = T0
⟺ Tthermostat + B = T0
⟺ B = T0 – Tthermostat
La solution de la loi phénoménologique de Newton a donc l’expression suivante.
T(t) = Tthermostat + (T0 – Tthermostat) × e–αt
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