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Étudier une lunette afocale

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Objectifs

Représenter le schéma d’une lunette afocale modélisée par deux lentilles minces convergentes ; identifier l’objectif et l’oculaire.
Représenter le faisceau émergent issu d'un point objet situé « à l’infini » et traversant une lunette afocale.
Établir l’expression du grossissement d’une lunette afocale.

Points clés

Une lunette astronomique est un dispositif optique qui permet d’obtenir l’image grossie d’un objet lumineux qui est très éloigné.
La lunette astronomique est composée de deux lentilles convergentes.
- L’objectif qui forme une image intermédiaire d’un objet situé à l’infini.
- L’oculaire qui, à partir de l’image intermédiaire, forme une image à l’infini observable par l’œil.
Le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire : la lunette astronomique est un système afocal.
L’angle (ou diamètre) apparent d’un objet est égal à l’angle sous lequel on voit cet objet placé à l’infini.
Le grossissement de la lunette astronomique est égal au rapport de l’angle apparent de l’objet vu à travers la lunette sur celui de l’objet vu à l’œil nu.
Le grossissement est également égal au rapport de la distance focale de l’objectif sur celui de l’oculaire.

Pour bien comprendre

Lentille convergente, foyer, rayons particuliers
Formule de la tangente dans un triangle rectangle

1. La lunette astronomique

Une lunette astronomique est un dispositif optique qui permet d’obtenir l’image grossie d’un objet lumineux très éloigné et qui nous apparait très petit (étoiles, galaxies, planètes) à l’œil nu.

La lunette astronomique est composée de deux lentilles convergentes : l’objectif et l’oculaire.

a. L'objectif

L’objectif est la lentille convergente placée du côté de l’objet. L’objectif donne, d’un objet à l’infini, une image qui se trouve dans le plan focal image de la lentille. L’objectif doit collecter un maximum de lumière. L’image formée est appelée image intermédiaire.

Rappel
La lentille convergente est un système optique composé par l’intersection de deux sphères : elle possède des bords minces et un centre bombé.

Elle est caractérisée par son centre optique O, son foyer objet F et son foyer image F', tous placés sur l’axe optique (axe de symétrie de la lentille).

On définit la distance focale f comme la distance commune OF ou OF'. Il existe des rayons particuliers dont la traversée de la lentille donne un rayon émergent caractéristique.

Modèle de la lentille convergente et tracé des rayons particuliers

On considère un objet AB à l’infini dont les rayons de lumière émis arrivent sur l’objectif.

Remarque
L’objet lumineux étant à l’infini, tous les rayons qui viennent du point B sont parallèles entre eux lors de leur arrivée sur l’oculaire.

On peut construire l’image A₁B₁ de cet objet AB à l’infini par l’objectif pour lequel on notera F₁ et F₁' les foyers objet et image, et O₁' le centre optique.

Construction de l’image intermédiaire A₁B₁

L’image intermédiaire se trouve dans le plan focal image de l’objectif.

b. L'oculaire

L’oculaire est la lentille convergente placée du côté de l’œil.

À partir de l’image intermédiaire A₁B₁, l’oculaire donne une image qui est observable : l’image A'B' formée par l’oculaire se trouve à l’infini.

La vision se fait sans accommodation dans ces conditions : l’œil ne force pas.

On peut construire l’image A'B' de l’image intermédiaire A₁B₁ par l’oculaire pour lequel on notera F₂ et F₂' les foyers objet et image, et O₂' le centre optique.

L’image intermédiaire est placée dans le plan focal objet de l’oculaire (A₁ et F₂ sont confondus).

Construction de l’image définitive A'B'

L’image définitive se trouve à l’infini.

c. Le système afocal

Dans la lunette astronomique, le foyer image F₁' de l’objectif est confondu avec le foyer objet F₂ de l’oculaire.

Dans de telles conditions, on dit que la lunette astronomique est un système afocal.

Trajets des rayons à travers
une lunette astronomique

La lunette astronomique forme une image à l’infini d’un objet placé à l’infini.

2. Le grossissement de la lunette astronomique

Une lunette astronomique permet d’obtenir l’image grossie d’un objet lumineux très éloigné de nous et que l’on voit à l’œil nu sous la forme d’un petit point lumineux.

Le pouvoir grossissant de la lunette astronomique est donné par son grossissement.

a. Définition

L’angle apparent d’un objet éloigné correspond à l’angle α sous lequel on voit l’objet à l’œil nu.

Angle apparent d’un objet placé à l’infini

Le grossissement d’un dispositif optique (tel que la lunette astronomique) est égal au rapport de l’angle apparent α' sous lequel on voit l’objet à travers le dispositif, sur l’angle apparent α sous lequel on voit l’objet à l’œil nu.

Angles apparents avant et après
la lunette astronomique

Le grossissement G a l’expression suivante.

avec :

G le grossissement du dispositif optique, sans unité
α' l’angle apparent sous lequel on voit l’objet à travers le dispositif, en radian (rad) ou en degré (°)
α l’angle apparent sous lequel on voit l’objet à l’œil nu, en radian (rad) ou en degré (°)

Remarque
L’angle apparent α' est plus grand que l’angle apparent α, le grossissement est donc strictement supérieur à 1.

b. Calcul du grossissement

On considère un rayon lumineux issu du point objet B et qui traverse la lunette astronomique.

Trajet d’un rayon lumineux
à travers la lunette astronomique

On constate que les triangles suivants sont des triangles rectangles.

Le triangle O₁A₁B₁ rectangle en A₁.
Le triangle O₂A₁B₁ rectangle en A₁.

On applique la formule de la tangente dans ces deux triangles.

Dans le triangle O₁A₁B₁ :
Dans le triangle O₂A₁B₁ :

Les angles apparents sont petits (car les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l’axe optique de la lunette astronomique), on peut donc appliquer l’approximation des petits angles.

tan(α) ≈ α et tan(α') ≈ α'

On obtient alors les expressions suivantes des deux angles apparents.

On fait intervenir les distances focales de l’objectif (car A₁ est confondu avec F₁') et de l’oculaire (car A₁ est confondu avec F₂) : O₁A₁ = f₁' et O₂A₁ = f₂'.

On obtient :

On calcule le grossissement G.

Le grossissement peut donc s’exprimer en fonction des distances focales de l’objectif et de l’oculaire.

avec :

G le grossissement du dispositif optique, sans unité
f₁' la distance focale de l’objectif, en mètre (m)
f₂' la distance focale de l’oculaire, en mètre (m)

Remarque
La distance focale de l’objectif est de l’ordre du mètre tandis que celle de l’oculaire est de l’ordre du centimètre : cela donne donc un grossissement supérieur à 1.