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Étudier la tension aux bornes d'un condensateur

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Objectifs

Établir et résoudre l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes d’un condensateur :
- dans le cas de sa charge par une source idéale de tension ;
- et dans le cas de sa décharge.
Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant.

Points clés

Le dipôle RC correspond à l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R et d’un condensateur de capacité C.
- Lors de la charge du condensateur, le dipôle RC est branché aux bornes d’un générateur idéal de tension E continue.
- Lors de la décharge du condensateur, le dipôle RC est branché aux bornes d’un fil de connexion.
Lors de la charge, la tension aux bornes du condensateur est la solution d’une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre non nul.
Son expression est :

Lors de la décharge, la tension aux bornes du condensateur est la solution d’une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre nul.
Son expression est :

La constante de temps τ du dipôle RC est égale au produit de R par C : τ = R × C

Pour bien comprendre

Loi des mailles
Étudier le modèle capacitif
Intensité et tension dans un condensateur

1. La charge et décharge du condensateur

Un dipôle RC est constitué de l’association en série d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R.

a. La charge du condensateur

La charge du condensateur consiste à brancher aux bornes de ce dipôle RC un générateur de tension continue dont la valeur est égale à E.

Circuit de charge du condensateur

On applique la loi des mailles.

u_AB= u_AC+ u_CD+ u_DE+ u_EB

Remarque
La tension aux bornes d’un fil de connexion est égale à zéro volt.

u_AC= u_EB= 0

On obtient la relation suivante.

u_G = u_R+ u_C

On exprime la tension aux bornes du conducteur ohmique en appliquant la loi d’Ohm.

u_R= R × i

On applique la relation entre i et u_C.

Ce qui nous donne :

La relation entre les tensions peut alors s’écrire de la manière suivante.

Il s’agit de l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur pendant la charge.

avec :

E la valeur du générateur de tension continue, en volt (V)
R la résistance du circuit,
en ohm (Ω)
C la capacité du condensateur,
en farad (F)
u_C la tension aux bornes du condensateur, en volt (V)
t le temps, en seconde (s)

b. La décharge du condensateur

La décharge du condensateur consiste à brancher aux bornes de ce dipôle RC un fil de connexion dont la tension entre ses deux bornes est nulle.

Circuit de décharge du condensateur

On applique la loi des mailles.

u_AB= u_AC+ u_CD+ u_DE+ u_EB

La tension aux bornes d’un fil de connexion est égale à zéro volt.

u_AB= u_AC= u_EB= 0

On obtient la relation suivante.

0 = u_R+ u_C

La relation entre les tensions peut alors s’écrire de la manière suivante.

Il s’agit de l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur pendant la décharge.

avec :

R la résistance du circuit,
en ohm (Ω)
C la capacité du condensateur,
en farad (F)
u_C la tension aux bornes du condensateur, en volt (V)
t le temps, en seconde (s)

2. La détermination de la solution de l'équation différentielle

L’équation différentielle établie est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.

a. La solution

Pour une équation différentielle de la forme

, la solution générale a l'expression suivante.

Le coefficient k est déterminé par la condition initiale (à t = 0).

b. La charge du condensateur

Pour la charge du condensateur, on a :

Par identification, on trouve :

On applique la condition initiale, sachant que le condensateur est initialement déchargé (donc u_C(0) = 0).

k = u_C(0) + (–E) = 0 + (–E) = –E

L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge est donc la suivante.

avec :

u_C la tension aux bornes du condensateur, en volt (V)
E la valeur du générateur de tension continue, en volt (V)
R la résistance du circuit,
en ohm (Ω)
C la capacité du condensateur, en farad (F)
t le temps, en seconde (s)

c. La décharge du condensateur

Pour la décharge du condensateur, on a :

Par identification, on trouve :

b = 0

On applique la condition initiale, sachant que le condensateur est initialement chargé (donc u_C(0) = E).

k = u_C(0) + 0 = E + 0 = E

L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge est donc la suivante.

avec :

u_C la tension aux bornes du condensateur, en volt (V)
E la valeur du générateur de tension continue, en volt (V)
R la résistance du circuit, en ohm (Ω)
C la capacité du condensateur, en farad (F)
t le temps, en seconde (s)

d. Le temps caractéristique

La constante de temps (ou temps caractéristique) associée à la charge ou à la décharge d’un condensateur, notée τ, a l’expression suivante.

τ = R × C

avec :

τ la constante de temps associée à la charge ou à la décharge d’un condensateur, en seconde (s)
R la résistance du circuit, en ohm (Ω)
C la capacité du condensateur, en farad (F)

L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge ou de la décharge est donc la suivante.