Étudier la tension aux bornes d'un condensateur
- Établir et résoudre l'équation
différentielle vérifiée par la tension
aux bornes d’un condensateur :
- dans le cas de sa charge par une source idéale de tension ;
- et dans le cas de sa décharge.
- Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant.
- Le dipôle RC correspond à
l’association en série d’un conducteur
ohmique de résistance R et d’un condensateur de
capacité C.
- Lors de la charge du condensateur, le dipôle RC est branché aux bornes d’un générateur idéal de tension E continue.
- Lors de la décharge du condensateur, le dipôle RC est branché aux bornes d’un fil de connexion.
- Lors de la charge, la tension aux bornes du
condensateur est la solution d’une équation
différentielle du premier ordre à
coefficients constants avec second membre non nul.
Son expression est :
- Lors de la décharge, la tension aux bornes du
condensateur est la solution d’une équation
différentielle du premier ordre à
coefficients constants avec second membre nul.
Son expression est :
- La constante de temps τ du dipôle RC est égale au produit de R par C : τ = R × C
- Loi des mailles
- Étudier le modèle capacitif
- Intensité et tension dans un condensateur
Circuit de charge du condensateur
On applique la loi des mailles.
uAB= uAC+ uCD+ uDE+ uEB
La tension aux bornes d’un fil de connexion est égale à zéro volt.
uAC= uEB= 0
On obtient la relation suivante.
uG = uR+ uC
On exprime la tension aux bornes du conducteur ohmique en appliquant la loi d’Ohm.
uR= R × i
On applique la relation entre i et uC.
Ce qui nous donne :
La relation entre les tensions peut alors s’écrire de la manière suivante.
Il s’agit de l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur pendant la charge.
|
avec :
|
Circuit de décharge du condensateur
On applique la loi des mailles.
uAB= uAC+ uCD+ uDE+ uEB
La tension aux bornes d’un fil de connexion est égale à zéro volt.
uAB= uAC= uEB= 0
On obtient la relation suivante.
0 = uR+ uC
La relation entre les tensions peut alors s’écrire de la manière suivante.
Il s’agit de l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur pendant la décharge.
|
avec :
|
L’équation différentielle établie est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.
, la solution générale a l'expression
suivante.
Le coefficient k est déterminé par la condition initiale (à t = 0).
Pour la charge du condensateur, on a :
Par identification, on trouve :
On applique la condition initiale, sachant que le condensateur est initialement déchargé (donc uC(0) = 0).
k = uC(0) + (–E) = 0 + (–E) = –E
L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge est donc la suivante.
|
avec :
|
Pour la décharge du condensateur, on a :
Par identification, on trouve :
-
- b = 0
-
On applique la condition initiale, sachant que le condensateur est initialement chargé (donc uC(0) = E).
k = uC(0) + 0 = E + 0 = E
L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge est donc la suivante.
|
avec :
|
La constante de temps (ou temps caractéristique) associée à la charge ou à la décharge d’un condensateur, notée τ, a l’expression suivante.
| τ = R × C |
avec :
|
L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge ou de la décharge est donc la suivante.
- Charge :
- Décharge :
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