Étudier la tension aux bornes d'un condensateur

Circuit de charge du condensateur

On applique la loi des mailles.

u_AB= u_AC+ u_CD+ u_DE+ u_EB

On obtient la relation suivante.

u_G = u_R+ u_C

On exprime la tension aux bornes du conducteur ohmique en appliquant la loi d’Ohm.

u_R= R × i

On applique la relation entre i et u_C.

Ce qui nous donne :

La relation entre les tensions peut alors s’écrire de la manière suivante.

Il s’agit de l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur pendant la charge.

avec : E la valeur du générateur de tension continue, en volt (V) R la résistance du circuit, en ohm (Ω) C la capacité du condensateur, en farad (F) uC la tension aux bornes du condensateur, en volt (V) t le temps, en seconde (s)

Circuit de décharge du condensateur

On applique la loi des mailles.

u_AB= u_AC+ u_CD+ u_DE+ u_EB

La tension aux bornes d’un fil de connexion est égale à zéro volt.

u_AB= u_AC= u_EB= 0

On obtient la relation suivante.

0 = u_R+ u_C

La relation entre les tensions peut alors s’écrire de la manière suivante.

Il s’agit de l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur pendant la décharge.

avec : R la résistance du circuit, en ohm (Ω) C la capacité du condensateur, en farad (F) uC la tension aux bornes du condensateur, en volt (V) t le temps, en seconde (s)

Pour une équation différentielle de la forme , la solution générale a l'expression suivante.

Le coefficient k est déterminé par la condition initiale (à t = 0).

Pour la charge du condensateur, on a :

Par identification, on trouve :

On applique la condition initiale, sachant que le condensateur est initialement déchargé (donc u_C(0) = 0).

k = u_C(0) + (–E) = 0 + (–E) = –E

L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge est donc la suivante.

avec : uC la tension aux bornes du condensateur, en volt (V) E la valeur du générateur de tension continue, en volt (V) R la résistance du circuit, en ohm (Ω) C la capacité du condensateur, en farad (F) t le temps, en seconde (s)

Pour la décharge du condensateur, on a :

Par identification, on trouve :

• 
• b = 0
• 

On applique la condition initiale, sachant que le condensateur est initialement chargé (donc u_C(0) = E).

k = u_C(0) + 0 = E + 0 = E

L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge est donc la suivante.

avec : uC la tension aux bornes du condensateur, en volt (V) E la valeur du générateur de tension continue, en volt (V) R la résistance du circuit, en ohm (Ω) C la capacité du condensateur, en farad (F) t le temps, en seconde (s)

La constante de temps (ou temps caractéristique) associée à la charge ou à la décharge d’un condensateur, notée τ, a l’expression suivante.

L’expression de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge ou de la décharge est donc la suivante.

• Charge : 
• Décharge :