Exploiter l'effet Doppler - Maxicours

Exploiter l'effet Doppler

Objectifs
  • Décrire et interpréter qualitativement les observations qui correspondent à une manifestation de l'effet Doppler.
  • Établir l’expression du décalage Doppler dans le cas d’un observateur fixe, d’un émetteur mobile et dans une configuration à une dimension.
  • Exploiter l’expression du décalage Doppler dans des situations variées qui utilisent des ondes acoustiques ou des ondes électromagnétiques.
  • Exploiter l’expression du décalage Doppler en acoustique pour déterminer une vitesse.
Points clés
  • Lorsqu’une source d’ondes et/ou un récepteur se déplacent, la fréquence captée par le récepteur immobile est différente de la fréquence émise par la source : cela constitue l’effet Doppler.
  • Le décalage Doppler s’exprime pour une onde par la relation , avec :
    • Δf = fR – fE la différence entre la fréquence fR reçue par le récepteur et la fréquence fE émise par l’émetteur, en Hz ;
    • vE la vitesse de l'émetteur, en m·s1 ;
    • vonde la vitesse de l’onde émise par l’émetteur, en m·s1.
  • L’effet Doppler présente diverses applications car il permet d’estimer à distance la vitesse d’un corps.
Pour bien comprendre
  • Onde, vitesse, fréquence d'un son
  • Vitesse d'une onde
1. Les caractéristiques d'une onde qui se propage (rappels)

Une onde (mécanique ou électromagnétique) est caractérisée par sa vitesse de propagation vonde, sa fréquence f et une double périodicité : temporelle T et spatiale λ.

On s’intéresse à la représentation d’une onde qui se propage dans l’espace.


Représentation de l’onde dans l’espace

L’onde possède une périodicité dans l’espace : la longueur d’onde λ.

Celle-ci est reliée à la fréquence f par la relation suivante.

avec :
  • f la fréquence de l’onde, en Hertz (Hz)
  • vonde la vitesse de propagation de l’onde, en mètre par seconde (m·s1)
  • λ la longueur d’onde de l’onde, en mètre (m)

La fréquence f est donc inversement proportionnelle à la longueur d’onde λ.

2. L'effet Doppler
a. Mise en situation

Les policiers ont mis en route la sirène dans leur voiture de police. On cherche à savoir quel type de son un observateur immobile à l’extérieur de la voiture va percevoir.

Pour cela, on étudie deux cas.

Cas 1 – La voiture est immobile

La voiture est immobile et se trouve à égale distance de deux observateurs A et B. On représente l’onde sonore en jaune.


Représentation de la situation
Observation

L’onde sonore reçue par les deux observateurs a la même longueur d’onde λ et donc la même fréquence f.

Cas 2 – La voiture se déplace

La voiture se déplace en direction de l’observateur B avec une vitesse constante : elle s’approche de B mais s’éloigne de A.


Représentation de la situation
Observation

L’onde sonore reçue par les deux observateurs n’a pas la même longueur d’onde λ et donc pas la même fréquence f : λ2 < λ1 donc f2 > f1.

Interprétation

Lorsque la sirène se rapproche d’un observateur, celui-ci perçoit un son de fréquence plus petite (et donc plus aigu) que lorsque la sirène s’éloigne.

b. Définition
Lorsqu’un son se déplace par rapport à un observateur immobile, celui-ci perçoit un son de fréquence différente.
  • Si le son s’approche de l’observateur, le son perçu est plus aigu (la fréquence du son diminue).
  • Si le son s’éloigne de l’observateur, le son perçu est plus grave (la fréquence du son augmente).

C’est l’effet Doppler : il correspond au changement de fréquence de l’onde perçue par un observateur immobile lors du déplacement de l’émetteur.

3. Décalage Doppler - Cas d'une onde sonore
a. Expression du décalage Doppler
L’expression

On considère un émetteur E qui émet une onde sonore de fréquence fE (en Hz) et de période TE (en s). L’onde se déplace à une vitesse vonde (en m/s).

Le récepteur R, immobile, capte l’onde avec une fréquence fR, une période TR et une longueur d’onde λR.

La source se déplace avec une vitesse vE constante et le récepteur est fixe.


Schéma de la situation
Le décalage Doppler correspond à la différence de fréquence entre l’onde reçue fR et l’onde émise fE : Δf = fR – fE.

L’expression du décalage Doppler est la suivante.

Δf = fE ×  avec :
  • Δf = fR – fE la différence entre la fréquence reçue par le récepteur et la fréquence émise par l’émetteur, en Hertz (Hz)
  • fE la fréquence de l’onde émise par l’émetteur, en Hertz (Hz)
  • vE la vitesse de déplacement de l'émetteur, en mètre par seconde (m·s1)
  • vonde la vitesse de propagation de l’onde émise par l’émetteur, en mètre par seconde (m·s1) (pour une onde sonore, on a vonde = 340 m·s1)
Démonstration de l’expression

Voici le calcul par étapes qui permet d’établir cette expression du décalage Doppler Δf.

Cette démonstration n’est pas à connaitre, mais il faut la comprendre.

Étape 1

La source et le récepteur sont distants de D.

À = 0 s, l’émetteur émet une première onde à la vitesse de propagation vonde.


Schéma de la situation à t = 0

Le récepteur recevra cette première onde au bout d’un temps .

Étape 2

Entre temps, la source avance à la vitesse constante vE et continue d’émettre : une deuxième onde est émise au temps t2.

La fréquence de l’onde émise par la source est constante et vaut fE, donc entre deux ondes émises, le temps est constant et vaut .

Pendant ce temps t2, l’émetteur aura parcouru la distance d2 = vE × t2 soit .

Le schéma correspondant est le suivant.


Schéma de la situation à = t2

La deuxième onde va parcourir la distance D – d2 avant d’arriver au récepteur. On a donc D = d2 + (D – d2). L’onde se déplace à la vitesse de propagation vonde donc elle va parcourir la distance D – d2 en un temps .

La deuxième onde est donc perçue par le récepteur au temps t3 tel que t3 = t2 + .

Étape 3

On peut avoir accès à la fréquence de l’onde reçue fR en calculant sa période TR puisque .

TR correspond au temps entre deux ondes reçues par le récepteur soit TR = t3 – t1 = t2 +   .

Or et , on obtient donc :




La fréquence fR vaut donc soit .

La fréquence de l’onde perçue par le récepteur lorsque l’émetteur s’approche à une vitesse vE est donc .

Le décalage Doppler vaut :
Δf = fR – fE




Or on est dans le cas où la voiture se déplace à faible vitesse par rapport à la vitesse du son : vE << vonde, on peut donc faire l’approximation vonde – vE ≈ vonde et ainsi obtenir l’expression souhaitée :

.

Remarque
On peut procéder au même raisonnement pour trouver la fréquence de l’onde perçue par le récepteur lorsque l’émetteur s’éloigne à une vitesse vE constante.
On trouve , pour obtenir ensuite le décalage Doppler : .
b. Interprétation de l'effet Doppler

On souhaite interpréter la perception de la fréquence sonore perçue par l’observateur immobile lorsque la source approche et lorsque la source s’éloigne.

La source approche

On a vu précédemment que la fréquence de l’onde reçue par le récepteur s’exprime sous la forme .

On sait que vonde > vonde – vE donc et  d’où fR > fE.

La fréquence perçue par le récepteur fR est plus grande que la fréquence de l’onde émise fE : le son est plus aigu.
La source s’éloigne

Si la source s’éloigne du récepteur immobile, on a la formule .

On sait que vonde < vonde + vE donc et  d’où fR < fE.

La fréquence perçue par le récepteur fR est plus petite que la fréquence de l’onde émise fE : le son est plus grave.
c. Application

On cherche à calculer la vitesse d’un hélicoptère qui survole une plaine où se trouve un observateur.

L’onde émise par l’hélicoptère a une fréquence de 7,5 × 102 Hz et l’observateur, immobile, perçoit un son avec une différence de fréquence de 150 Hz.

On utilise la formule soit .

Application numérique : m·s–1.

L’hélicoptère se déplace donc à une vitesse de 68 m·s1.

4. Décalage Doppler - Cas des ondes électromagnétiques
a. Expression du décalage Doppler

L’effet Doppler concerne également les ondes électromagnétiques, dont les ondes lumineuses. La formule du décalage Doppler est donc la même.

Le principe est le même.
  • Si l’onde électromagnétique se rapproche de l’observateur immobile, la fréquence perçue par celui-ci augmente.
  • Si l’onde électromagnétique s’éloigne de l’observateur immobile, la fréquence perçue par celui-ci diminue.
Exemple
On prend le cas d’une étoile.
  • Lorsque l’étoile se rapproche de la Terre, on observe que son spectre se décale vers les grandes fréquences et donc les petites longueurs d’onde (le bleu pour les raies du visible).
  • Lorsque l’étoile s’éloigne de la Terre, son spectre se décale vers les petites fréquences et donc les grandes longueurs d’onde (le rouge pour les raies du visible).

Décalage du spectre d’une étoile selon son déplacement
b. Application - le radar

Le radar automobile est utilisé pour calculer la vitesse de déplacement des voitures sur les routes. On souhaite calculer la vitesse réelle vréelle d’une voiture.

Le radar émet des ondes électromagnétiques qui se déplacent à la vitesse vonde = 3,0 × 108 m·s1 et qui ont une fréquence fE. Le radar constitue un émetteur immobile.

Cette onde est émise en direction de la voiture qui s'approche. Celle-ci roule à la vitesse vréelle. En raison de sa vitesse, la voiture reçoit l’onde émise par le radar à une fréquence fR différente de fE.
Cette onde est ensuite transmise au radar par réflexion mais avec une fréquence différente qui va dépendre de la vitesse de la voiture.
On peut ainsi calculer la vitesse de la voiture.

Il faut tenir compte de l’angle entre la direction du radar et celle de la voiture dans la formule initiale . La vitesse de la voiture vréelle n’est en effet pas la même que la vitesse vE mesurée par le radar en raison de cet angle.


Angle d’inclinaison entre la voiture et le radar

Dans le cas où la direction du radar est inclinée de 25° par rapport à la direction de déplacement de la voiture, la formule du décalage Doppler à prendre en compte est .

Remarque
Cette formule n’est pas à connaitre, elle est toujours fournie.
Exemple
Un radar contrôle un véhicule qui circule en agglomération. Le radar émet une onde de fréquence fE = 24,125 GHz. Au passage du véhicule la variation de fréquence enregistrée est Δf = 2,5 × 103 Hz.

On utilise la formule  soit .

Application numérique :  m·s1.

Pour savoir s’il est en infraction, il faut convertir cette vitesse en km·h1. On a donc vréelle = 17 m·s1 = 17 × 3,6 km·h1 = 61 km·h1.

La vitesse en agglomération étant limitée à 50 km·h1, il est donc en infraction.

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