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Loi binomiale, espérance et écart type

Découvrir une loi de probabilité attachée à une variable aléatoire comptant des succès

1. Loi de Bernoulli
a. Épreuve et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience admettant exactement 2 issues. Ces deux issues sont donc contraires l'une de l'autre.
On appelle communément les 2 issues de probabilité :
• "succès"  notée p
• "échec" notée q = 1-p.

Étant donné une épreuve de Bernoulli, considérons la variable aléatoire X prenant pour valeur 1 quand le succès est réalisé, ou prenant pour valeur 0 dans le cas de la réalisation de l'échec.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.

Exemple 
On lance un dé cubique classique.
On s'intéresse à l'événement "le numéro tiré est un 6".
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est "le numéro est un 6" de probabilité 1/6.
La variable de Bernoulli associée est une variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 est sorti, ou prend la valeur 0 si c'est un autre numéro qui sort.
b. Espérance, écart type d'une loi de Bernoulli
Considérons une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p .
Alors : .

Et :


L'espérance d'une loi de Bernoulli est égale à p et sa variance à pq.
c. Schéma de Bernoulli
Considérons une épreuve de Bernoulli où p désigne la probabilité du "succès" et n un entier naturel non nul.

On appelle schéma de Bernoulli à n épreuves de paramètre p, la répétition n fois de suite avec indépendance de la même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

En revenant à l'exemple précédent : on lance 3 fois de suite un dé, à chaque fois on réalise ou non un "6". Cela constitue une schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 1/6.

Attention : il s'agit  de s'assurer que la répétition de l'épreuve de Bernoulli s'effectue bien avec indépendance.
2. Loi binomiale
a. Définition
Considérons un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Les n épreuves de Bernoulli peuvent se modéliser par un arbre qui aurait 2 branches initiales (succès-échec) puis chacune de ces branches donnant naissance à 2 nouvelles branches (succès-échec) etc... À chaque épreuve, le nombre de branches est doublé.

Considérons une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations du succès au cours des n épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.

X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.
Prenons k une de ces valeurs entières.
Sur l'arbre il existe un certain nombre de branches (ou chemins) qui comporte k succès et n-k échecs. Ce nombre de chemins se note . Il peut se calculer aisément avec une calculatrice.
Chacun de ces chemins comporte succès et n-k échecs. La probabilité qu'un de ces chemins se réalise est égale à (c'est le principe du produit des probabilités sur les branches).

Pour finir, puisqu'il y a chemins ayant chacun la probabilité de se produire,  on peut en déduire que .

b. Espérance et écart type d'une loi binomiale
On admet les résultats suivants sur l'espérance et l'écart type d'une loi binomiale de paramètres n et p.

.
c. Exemple
Revenons au schéma de Bernoulli précédent où on lance un dé 3 fois de suite.

La variable aléatoire qui compte le nombre "6" obtenu sur 3 tirages suit une loi binomiale de paramètres n=3  et p=1/6.

Exemple
. On a aussi .

Reprenons cette loi avec n =36.
L'espérance devient égale à . Ceci correspond à l'idée intuitive de "moyenne". On réalise un "6" avec 1 chance sur 6. Sur 36 lancers, en moyenne, on en réalise 6.
Sur 72 lancers, on en réaliserait 12 !
De même, sur 100 lancers d'une pièce de monnaie, on réalise en moyenne 50 piles !
L'essentiel
Une épreuve de Bernoulli est une expérience admettant exactement 2 issues. Ces deux issues sont donc contraires l'une de l'autre.
On appelle communément les 2 issues de probabilité :
• "succès" notée p
• "échec" notée q = 1-p.

On appelle schéma de Bernoulli à n épreuves de paramètre p, la répétition n fois de suite avec indépendance de la même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations du succès au cours des n épreuves suit une loi binomiale de paramètre n et p et on a : .

L'espérance d'une variable aléatoire suivant cette loi binomiale : .

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