La fonction exponentielle et les suites géométriques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Construire la représentation graphique de la
fonction exponentielle de base
à partir de la
représentation graphique d’une suite
géométrique.
- Définir la fonction exponentielle de base
.
- Étudier le sens de variation de la fonction
exponentielle de base .
- Propriétés algébriques des
fonctions exponentielles de base .
- Étudier la fonction
définie par 
où 
est un nombre réel non nul
- Définir croissance et décroissance exponentielle.
- Lier décroissance exponentielle et désintégration radioactive.
- Lier croissance exponentielle et intérêts composés.
- La fonction exponentielle de base est la
fonction définie
sur
par 
.
- Sens de variation de la fonction exponentielle de
base :
- Si
, la fonction est
décroissante sur .
- Si
, la fonction est croissante
sur .
- Si
- Pour construire la représentation graphique d’une fonction exponentielle de base a, on peut partir de la représentation graphique d’une suite géométrique de raison a et placer les autres points par dichotomie.
- Représentation graphique de la fonction
exponentielle de base :
- Si , on a une décroissance
exponentielle.
Exemple : a = 0,5 -
- Si , on a une croissance
exponentielle.
Exemple : a = 2,5 -
- Si
- Suites géométriques
- Suites arithmétiques
- Moyenne arithmétique de deux nombres
- Moyenne géométrique de deux nombres
- Règles de calcul des puissances et des exposants
- Utiliser la calculatrice ou un tableur pour établir un tableau de valeur et représenter une fonction.
Soit 
une suite numérique.
Une suite géométrique est une suite telle qu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre, qu’on appelle la raison (notée
) : 
pour tout entier naturel
.
-
et notamment 
- Si le premier terme
est positif et la raison
est positive, alors :
- si
, la suite
est
décroissante ;
- si
, la suite
est croissante.
- si
Le principe de la construction est basé sur ce théorème :
, 
et 
sont trois termes
consécutifs d’une suite arithmétique,
alors 
.(2) Si
, et sont trois termes
consécutifs d’une suite
géométrique de raison positive, alors
.
On dit que 
est la moyenne
arithmétique de et , et 
est la moyenne
géométrique de et .
(1) On note
la raison de la suite
arithmétique, donc 
et 
.
donc .(2) On note
la raison ( positif) de la suite
géométrique, donc 
et 
donc .
On considère une suite géométrique
de raison positive et de premier terme
1.
La représentation graphique de cette suite est
l’ensemble des points de coordonnées
.
On remarque que les abscisses forment une suite
arithmétique de raison 1 (0 ; 1 ;
2 ; 3...) et les ordonnées forment une suite
géométrique de raison : (1 ; ; 
; 
...)
On applique et réitère la procédure de construction suivante :
- l’abscisse est la moyenne arithmétique des abscisses de ces points ;
- l’ordonnée est la moyenne géométrique des ordonnées de ces points.
- On représente la suite
géométrique par des points de
coordonnées .
Exemple avec la suite
définie par 
et 
est une
suite géométrique de
raison 
et on a 
- On prolonge la représentation de cette suite
pour les entiers négatifs.
Comme
, on pose 
.
Dans notre exemple :
- Par dichotomie, on place entre deux points
consécutifs un point dont les coordonnées
sont (moyenne arithmétiques des abscisses ;
moyenne géométrique des
ordonnées).
Autrement dit, si
et 
sont deux points
consécutifs de ce nuage de points, on place
entre eux le point 
.
- On procède de la
même façon pour les abscisses
négatives.
- On réitère ce procédé de
construction plusieurs fois. On obtient ainsi la
représentation graphique de la fonction
définie sur par
. On appelle cette fonction la
fonction exponentielle de base .
Dans notre exemple, on obtient la représentation graphique de la fonction f définie par
.
Soit
un nombre réel strictement
positif, la fonction exponentielle de base est la fonction définie sur par .
, nous retrouvons la fonction
exceptionnelle.
(1) Si
, la fonction est décroissante sur
.(2) Si
, la fonction est croissante sur .
, est la fonction constante
égale à 1.
Par similitude et par construction à partir de
la suite géométrique de raison
et de premier terme 1, on sait
que si alors la suite est
décroissante et si la suite est croissante, donc
est décroissante si
et est croissante si .
- Si
Exemple : a = 0,5 -
- Si
Exemple : a = 2,5 -
Soit et deux nombres réels
strictement positifs, et 
et 
deux nombres réels.
Soit un nombres réel non nul, on
définit la fonction par .
avec 
, donc est une fonction exponentielle de
base 
.
est définie sur et décroissante si
, croissante si 
.
La base de cette fonction exponentielle est .
est décroissante sur
si et est croissante sur si .
Or, 
et 
.
Donc est décroissante sur
si et est croissante sur si .
- Si
Exemple : représentation graphique de la fonction f définie par f(x)=e-x (k = -1) -
- Si
Exemple : représentation graphique de la fonction g définie par g(x)=e0,5x (k = 0,5) -
Les lois de physique permettent d’affirmer que à un instant
, dans un
échantillon de noyaux radioactifs, la vitesse de
désintégration est proportionnelle
à l’effectif des noyaux non
désintégré de cet
échantillon.On note
l’effectif des noyaux non
désintégrés à
l’instant . = vitesse de la
désintégration donc 
est une constante 
On démontre (ou on admet) que
est définie sur
par 
avec une constante positive qui est
égale à l’effectif de
l’échantillon à l’instant 0
et une constante physique
correspondant au noyau considéré.Si on mesure l’effectif en pourcentage, on peut poser
Donc
Pour le polonium,
donc 
, avec l’effectif de
l’échantillon du polonium exprimé
en pourcentage et le temps en seconde.
>
D’après le graphique de la fonction
, nous constatons que la
moitié de cet échantillon se
désintègrent en 187 secondes et les trois
quarts se désintègrent en 375 secondes.
On place un capital de 1 000 € dans une banque à un taux d’intérêt composée de 5 %. On note
le capital acquis au bout de
années, en milliers
d’euros.Ainsi,
(milliers d’euros) et
Donc la suite
est une suite
géométrique de raison 1,05 et de premier
terme 1, d'où 
qu’on peut prolonger en
une fonction exponentielle de base 1,05 : 
. On peut alors calculer le
capital acquis à chaque instant.Au bout de 3 ans :
soit environ
1 158 €Au bout de 3 ans et 6 mois :
soit environ
1 186 €
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