Droites remarquables dans un triangle
Objectifs :
Dans un triangle, les médiatrices, les hauteurs, les
médianes et les bissectrices ont des
propriétés particulières.
Qu’est ce qu’une médiatrice, une hauteur, une médiane, une bissectrice ? Quelles propriétés particulières possèdent ces droites ?
Qu’est ce qu’une médiatrice, une hauteur, une médiane, une bissectrice ? Quelles propriétés particulières possèdent ces droites ?
1. Médiatrices dans un triangle
Une médiatrice dans un triangle est la droite
qui passe par le milieu d’un côté
et qui lui est perpendiculaire.
Remarque : La médiatrice de [AB] est
l’ensemble des points à égale distance de
A et de B. Si M appartient à cette médiatrice
alors MA = MB.
Propriété
Les trois médiatrices d’un triangle
sont concourantes c'est-à-dire qu’elles
se coupent en un même point. Le point de
concours est le centre du cercle circonscrit
au triangle.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle
ABC. Le cercle passe par les 3 sommets du
triangle.
Remarques
• O appartient aux 3 médiatrices. On a donc :
OA = OB = OC.
• Dans un triangle rectangle, le centre O du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Remarques
• O appartient aux 3 médiatrices. On a donc :
OA = OB = OC.
• Dans un triangle rectangle, le centre O du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
2. Hauteurs dans un triangle
Une hauteur dans un triangle est la droite qui
passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé.
Certaines hauteurs sont extérieures au triangle. Il faut dans ce cas prolonger un des côtés.
Les trois hauteurs dans un triangle sont
concourantes. Le point de concours est
appelé l’orthocentre.
3. Médianes dans un triangle
Une médiane dans un triangle est une droite
qui passe par un sommet et par le milieu du
côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle sont
concourantes. Leur point de concours est
le centre de gravité du triangle.
En Sciences physiques, le centre de gravité correspond au point d’équilibre du triangle.
Remarque générale : Pour obtenir le
centre du cercle circonscrit, l’orthocentre ou le
centre de gravité, il suffit de tracer
respectivement deux médiatrices, hauteurs
ou médianes.
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