Droites remarquables dans un triangle - Maxicours

Droites remarquables dans un triangle

Objectifs :
Dans un triangle, les médiatrices, les hauteurs, les médianes et les bissectrices ont des propriétés particulières.
Qu’est ce qu’une médiatrice, une hauteur, une médiane, une bissectrice ? Quelles propriétés particulières possèdent ces droites ?
1. Médiatrices dans un triangle
Une médiatrice dans un triangle est la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui lui est perpendiculaire.
Remarque : La médiatrice de [AB] est l’ensemble des points à égale distance de A et de B. Si M appartient à cette médiatrice alors MA = MB.
 
Propriété
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes c'est-à-dire qu’elles se coupent en un même point. Le point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Le cercle passe par les 3 sommets du triangle.

Remarques
• O appartient aux 3 médiatrices. On a donc :
OA OB OC.
• Dans un triangle rectangle, le centre O du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
2. Hauteurs dans un triangle
Une hauteur dans un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Attention
Certaines hauteurs sont extérieures au triangle. Il faut dans ce cas prolonger un des côtés.
Propriété
Les trois hauteurs dans un triangle sont concourantes. Le point de concours est appelé l’orthocentre.
H est l’orthocentre du triangle ABC.


3. Médianes dans un triangle
Une médiane dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Propriété
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité du triangle.
G est le centre de gravité du triangle ABC.

En Sciences physiques, le centre de gravité correspond au point d’équilibre du triangle.
Remarque générale : Pour obtenir le centre du cercle circonscrit, l’orthocentre ou le centre de gravité, il suffit de tracer respectivement deux médiatrices, hauteurs ou médianes.

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