Calculer le mode et la médiane - Cours de SES Seconde avec Maxicours - Lycée

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Calculer le mode et la médiane

Le mode et la médiane sont des outils d'analyse de la dispersion d'une variable. 

1. Le mode
Le mode est la valeur de la variable la plus fréquente de la population étudiée. En d'autres termes, dans une distribution statistique, le mode est la modalité de la variable à laquelle est associé le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. On note généralement le mode : M0.
Le calcul du mode de distribution et sa difficulté dépendent de la nature continue ou discrète de la variable étudiée.

a. Cas de la variable discrète
Le mode est la valeur de la variable possédant le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. Il est, dans ce cas, simplement ou directement observable. Dans un tableau statistique, c'est le xi ou le fi le plus élevé.

Exemple :
soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur âge, dont le tableau statistique est :

Âge xi

Effectifs
ni

Fréquences
fi

Fréquences
fi en %

14
15
16
17
18

 6
10
10
2
2

0,2
0,33
0,33
0,067
0,067

20
53
86
93
100

 ∑

 30

 1

 100 %

 
L'effectif ni ou la fréquence fi les plus élevés montrent que le mode est ici de 15 et 16 ans (l'effectif est le même dans les deux cas).
b. Cas de la variable continue
Si la variable est continue, ses modalités sont des classes de valeurs. Le mode de distribution ne pourra pas être une modalité représentant une valeur précise de cette variable mais sera une classe de valeurs. On appelle alors classe modale la classe constituant le mode de la distribution.

Exemple :
soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur taille :

Taille xi

Effectifs
ni

Fréquences
fi

Fréquences
fi en %

<1,60
[1,60-1,70[
[1,70-1,80[
[1,80-1,90[
≥ 1,90

8
9
10
2
1

0,267
0,30
0,33
0,067
0,033

26,7
56,7
89,7
96,3
100

 ∑

 30

 1

 100 %


L'effectif ni ou la fréquence fi les plus élevés montrent que le mode est ici la classe [1,70-1,80[.

Remarques : le mode étant une valeur de la variable, il s'exprime dans la même unité que la variable. Il peut exister des distributions présentant plusieurs modes lorsque plusieurs modalités pour la même fréquence maximale.
2. La médiane
La médiane est la valeur de la variable telle que la moitié des individus de la population prenne une valeur qui lui soit inférieure, l'autre moitié des individus de la population prenant par conséquent une valeur qui lui soit supérieure.
Si les individus sont ordonnés selon la valeur de cette variable, ce qui est généralement le cas dans une distribution statistique, la médiane est la valeur de la variable qui permet de partager la population étudiée en deux.
On note généralement la médiane : .

Le calcul de la médiane de distribution dépend de la nature continue ou discrète de la variable étudiée. 

a. Le cas où la variable est discrète
Le calcul de la médiane se fait à partir des effectifs ou des fréquences cumulées. La médiane est la valeur de la variable à laquelle est associé un effectif cumulé égal à N / 2, ou une fréquence cumulée égale à 0,5, N étant effectif total de la population.

Si ces valeurs d'un effectif cumulé égal à N / 2 ou d'une fréquence cumulée égale à 0,5 ne correspondent pas exactement à une valeur de la variable et « tombent entre deux lignes » de la distribution, aucune valeur possible de la variable ne partage alors exactement la population en deux sous-ensembles égaux. Par convention, on retient dans ce cas comme médiane la valeur de la variable immédiatement supérieure.

Exemple : soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur âge :

     Âge xi     

     Effectifs      
ni

Effectifs cumulés
Ni

14
15
16
17
18

 6
10
10
2
2

6
16
26
28
30

 ∑

 30

30


On a : N = 30 ; donc : N/2 = 15.

La population comprend 30 individus. La médiane est la valeur de la variable (l'âge) qui partage ses 30 individus en deux sous-ensembles de 15 étudiants chacun. Le calcul des effectifs cumulés Ni montre que la moitié de l'effectif (N / 2 = 15) se situe entre deux valeurs de la variable : 14 et 15 ans. Par convention, on retiendra comme médiane la valeur de la variable immédiatement supérieure, soit 15 ans.
b. Le cas où la variable est continue
Il n'y a, pour le calcul de la médiane, aucune différence selon que les classes de la variable sont d'amplitudes constantes ou variables. La variable étant continue, il devient possible, contrairement au cas précédent, d'évaluer précisément la valeur de la médiane.

Le calcul de la médiane se fait alors en deux temps :

détermination de la classe médiane : la classe médiane est la classe de valeurs de la variable contenant la médiane. Elle est déterminée de la même manière que la médiane dans le cas d'une variable discrète, à partir des effectifs et des fréquences cumulés.

Exemple : soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur taille :

     Taille xi     

     Effectifs      
ni

Effectifs cumulés
Ni

<1,60
[1,60-1,70[
[1,70-1,80[
[1,80-1,90[
≥ 1,90

8
9
10
2
1

8
17
25
27
30

 ∑

 30

30


On a : N = 30, et N / 2 = 15. Dans cette population, 8 individus prennent une valeur inférieure à 1,60 m et 17 individus une valeur de la variable inférieure à 1,70 m. La médiane est donc comprise entre 1,60 m et 1,70 m.
La classe [1,60-1,70[ est la médiane de la distribution. 

détermination de la médiane : cette seconde étape cherche à découvrir la valeur précise de la médiane à l'intérieur de la classe médiane. La méthode généralement utilisée pour ce faire est celle de l'interpolation linéaire ; c'est mathématiquement une application simple du théorème de Thalès.

Soit [xi; xj [ la classe médiane déterminée à l'étape précédente. Appelons respectivement Ni et Nj les effectifs cumulés associés aux deux bornes de cette médiane : xi et xj .
On peut représenter, de part et d'autre d'un même axe, les valeurs de la variable (au-dessus) les effectifs cumulés associés (en-dessous), cela pour les deux bornes de la classe médiane et pour la médiane elle-même :

 

Aux deux barres xi et xj on associe, par définition, les deux effectifs cumulés Ni et Nj, et à la médiane qui est comprise entre xi et xj, on associe un effectif cumulé égal à N / 2. Le théorème de Thalès permet d'écrire, à partir de :


 

Exemple : dans l'exemple précédent, on a : xi = 1,60 m et xj  = 1,70 m (bornes de la classe médiane) ; on a aussi : Ni = 8 et Nj = 17 (effectifs cumulés associés) ; on peut alors construire l'axe suivant, soit :

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