Calculer des moyennes - Maxicours

Calculer des moyennes

Objectif
  • Comprendre l'outil statistique : la moyenne.
Points clés
  • Il est utilisé généralement deux types de moyenne : la moyenne simple et la moyenne pondérée.
  • La moyenne simple, ou arithmétique, donne la même importance aux valeurs et peut induire un résultat qui ne correspond pas à la réalité. La moyenne pondérée elle prend en compte la différence de poids des valeurs.

La moyenne est un outil statistique qui permet à la fois de résumer des informations et de rendre plus facile des comparaisons dans l'espace et dans le temps. Elle est donc très fréquemment utilisée en sciences économiques et sociales. On utilise généralement deux types de moyenne : la moyenne simple et la moyenne pondérée.

1. La moyenne simple

La moyenne simple, également appelée moyenne arithmétique, d'une série statistique consiste à effectuer la somme des valeurs prises par une variable et à la diviser par le nombre de valeurs étudiées, soit :
(x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n.

On parle de moyenne arithmétique simple car chaque variable observée a le même « poids » dans le calcul. La moyenne s'exprime dans la même unité que les variables observées.

Exemple
Considérons des notes obtenues par deux élèves lors de différents contrôles :
 Élèves  Contrôle 1  Contrôle 2 Contrôle 3   Contrôle 4
 Élève A  5/20  10/20  13/20  8/20
 Élève B  5/20  18/20  16/20  7/20
    
Pour l'élève A, la moyenne sur les quatre contrôles est de:
(5+10+13+8) / 4 = 9 / 20.
Pour l'élève B, la moyenne sur les quatre contrôles est de :
(5+18+16+7) / 4 = 11,5 / 20.


Cette moyenne simple pose plusieurs problèmes : 

• en tant que moyenne, elle peut masquer, ici pour l'élève B, d'importants écarts à la moyenne (c'est la « dispersion »). Cette dispersion peut être mesurée par l'écart-type qui permet ainsi de savoir si la moyenne est une valeur significative ou pas. En effet, plus la dispersion est forte, moins la moyenne est significative et inversement. L'écart-type se calcule en prenant la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne,
 
• en tant que moyenne simple, elle conduit à donner la même importance à toutes les valeurs de la variable, ce qui ne correspond pas forcement à la réalité. C'est ce qui explique le calcul de la moyenne pondérée.
2. La moyenne pondérée

On utilise la moyenne pondérée quand il faut tenir compte des poids différents des valeurs observées. Ainsi, la moyenne pondérée m, s'obtient en additionnant les valeurs x liées par un coefficient c, et en divisant par la somme des coefficients, soit :
m = (c1.x1 + c2.x2 + c3.x3 + ... + cn.xn) / c1+ c2+ c3+ cn.

Attention : l'analyse des moyennes pondérées doit être réalisée avec précaution car une variation de la moyenne peut être due à une variation des valeurs ou des pondérations.

Exemple
Dans l'exemple précédent, si l'on considère les contrôles 3 et 4 comme les plus importants, on leur affectera un coefficient 2 et un coefficient 1 seulement pour les contrôles 1 et 2. Les moyennes pondérées des deux élèves deviennent alors :
- élève A : mA = (1.5+1.10+2.13+2.8) / 1+1+2+2 = 9,5
- élève B : mB = (1.5+1.18+2.16+2.7) / 1+1+2+2 = 11,5.

D'une manière générale, quel que soit le type de moyenne effectuée, il convient d'être attentif à trois points :

  • le calcul de la moyenne doit porter sur des grandeurs ayant la même unité :
Exemple
Il est impossible de calculer l'activité moyenne de l'unité de production suivante :
Unités de production   Atelier 1  Atelier 2 Atelier 3 
Volumes de production
par jour
 1 000  500  13/20
Unités de mesure de l'activité    automobiles      moteurs    pots
  d'échappement  

Si l'on veut déterminer cette activité moyenne, il convient de donner à chaque unité de mesure de l'activité un prix (ou un coût). 

  • la moyenne ne correspond pas nécessairement à la situation la plus fréquente : si l'on considère une classe de 30 élèves, dont 15 auraient obtenu 7/20 à un devoir, les autres ayant obtenu 13/20, la note moyenne de la classe est donc 10/20, mais aucun élève n'a obtenu une telle note ; 
  • la moyenne est un résumé ; il y a donc une perte d'information : la moyenne résume des informations et, à ce titre, elle conduit à en perdre. Notamment, la moyenne ne donne aucune information sur la répartition des valeurs observées ni sur la dispersion autour de cette valeur centrale qui est la moyenne.

 

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