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Aire d'un parallélogramme

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Objectif

Afin de résoudre de nombreux problèmes de la vie courante, on calcule l'aire d'une figure (calcul de la surface de moquette nécessaire pour couvrir un sol…).
Comment calcule-t-on l’aire d'un parallélogramme ?

1. Aire d'une figure

• L’aire d’une figure correspond à la mesure de sa surface.
Elle s’exprime en m², cm², mm², hm²…
• Unité d’aire
La surface d’un carré de 1 cm de côté est 1 cm² ; c'est une unité d'aire.
De la même manière, on pourrait construire une unité d’aire de 1 mm², 1 m², 1 dam²…

Ce carré de 1 cm de côté a pour aire 1 cm².
Calculer l’aire d’une figure revient à déterminer le nombre d’unités d’aire qu’elle contient.

Exemple

La figure ci-dessus contient 16 unités d’aire de 1 cm² ; son aire est de 16 cm².

2. Aire d'un parallélogramme

a. Aire d'un rectangle

L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par la formule :
A = L × l.

Soit ABCD un rectangle. On a :
Aire (ABCD) = AB × BC.

b. Hauteurs dans un parallélogramme

Soit ABCD un parallélogramme.

On appelle hauteur relative au côté [AB], la longueur du segment [AE] tracé en rouge. [AE] est perpendiculaire à [AB] et [CD].

Remarques :
• La hauteur relative à [AB] l’est aussi à [CD] car [AB] // [CD].
• On peut aussi tracer les hauteurs relatives aux côtés [AD] et [BC].

En général h ≠ h₁.

c. Aire du parallélogramme

Soit ABCD un parallélogramme.

D’après le schéma ci-dessus, les triangles AED et BCF ont même aire. On a donc :
Aire (parallélogramme ABCD) = Aire (rectangle ABFE) = AB × AE = AB × h.

L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la longueur d’un côté par la hauteur relative à ce côté.

Dans ce cas, le côté est aussi appelé base relative à la hauteur.

Aire (ABCD) = hauteur × base = AB × h = AD × h₁.

Exemple
Soit ABCD un parallélogramme tel que AB = 8 cm ; AD = 4 cm et la hauteur relative au côté [AB] est égale à 3 cm.
Donner l’aire du parallélogramme ABCD et calculer la hauteur h₁ relative au côté [AD].

Aire (ABCD) = AB × h = 8 × 3 = 24 cm².
Or Aire (ABCD) = AD × h₁= 4 × h₁= 24 cm² donc h₁= 24 ÷ 4 = 6 cm.

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