Aire d'un parallélogramme - Maxicours

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Aire d'un parallélogramme

Objectif
Afin de résoudre de nombreux problèmes de la vie courante, on calcule l'aire d'une figure (calcul de la surface de moquette nécessaire pour couvrir un sol…).
Comment calcule-t-on l’aire d'un parallélogramme ?
1. Aire d'une figure
• L’aire d’une figure correspond à la mesure de sa surface.
  Elle s’exprime en m², cm², mm², hm²…
• Unité d’aire 
La surface d’un carré de 1 cm de côté est 1 cm² ; c'est une unité d'aire
De la même manière, on pourrait construire une unité d’aire de 1 mm², 1 m², 1 dam²…

Ce carré de 1 cm de côté a pour aire 1 cm².
Calculer l’aire d’une figure revient à déterminer le nombre d’unités d’aire qu’elle contient.

Exemple

La figure ci-dessus contient 16 unités d’aire de 1 cm² ; son aire est de 16 cm².

 


2. Aire d'un parallélogramme
a. Aire d'un rectangle
L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par la formule :
A = L × l.
Soit ABCD un rectangle. On a :
Aire (ABCD) AB × BC.
b. Hauteurs dans un parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme.

On appelle hauteur relative au côté [AB], la longueur du segment [AE] tracé en rouge. [AE] est perpendiculaire à [AB] et [CD].

Remarques :
• La hauteur relative à [AB] l’est aussi à [CD] car [AB] // [CD].
• On peut aussi tracer les hauteurs relatives aux côtés [AD] et [BC].

En général h ≠ h1.
c. Aire du parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme.

D’après le schéma ci-dessus, les triangles AED et BCF ont même aire. On a donc :
Aire (parallélogramme ABCD) = Aire (rectangle ABFE) = AB × AE AB × h.
L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la longueur d’un côté par la hauteur relative à ce côté.
Dans ce cas, le côté est aussi appelé base relative à la hauteur.

Aire (ABCD) hauteur × base AB × AD × h1.

Exemple
Soit ABCD un parallélogramme tel que AB = 8 cm ; AD = 4 cm et la hauteur relative au côté [AB] est égale à 3 cm.
Donner l’aire du parallélogramme ABCD et calculer la hauteur h1 relative au côté [AD].
 
Aire (ABCD) AB × = 8 × 3 = 24 cm².
Or Aire (ABCD) AD × h= 4 × h= 24 cm² donc h= 24 ÷ 4 = 6 cm.

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