Additions et soustractions de nombres relatifs - Maxicours

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Additions et soustractions de nombres relatifs

Objectifs
Additionner et soustraire des nombres relatifs se retrouvent dans différentes situations (connaitre l’écart entre deux nombres relatifs pour des écarts de températures, de points dans certains jeux ou encore pour cumuler des gains et des pertes).
Comment additionner et soustraire deux nombres relatifs ? Comment peut-on simplifier l’écriture de ces opérations ?
1. Additions de nombres relatifs
Pour effectuer l'addition de deux nombres relatifs, il faut répondre aux deux questions suivantes :
• Quel est le signe du résultat ?
• Quelle est la distance à zéro du résultat ?
 
Premier cas : Les deux nombres ont le même signe
• Le résultat garde le signe commun des deux nombres.
• La distance à zéro du résultat est la somme des distances à zéro des deux nombres.
Exemple :
(−5) + (−7) = (−12) car le signe commun est le signe « − » et 5 + 7 = 12.
(+8,4) + (+5,7) = (+14,1) car le signe commun est le signe « + » et 8,4 + 5,7 = 14,1.

Deuxième cas : Les deux nombres sont de signes différents
• Le signe du résultat est le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
• Pour obtenir la distance à zéro du résultat, on soustrait les distances à zéro.
Exemple :
(+8,4) + (−5,2) = +3,2. On conserve le signe « + » de la plus grande distance à zéro (8,4 > 5,2) et on effectue la différence 8,4 − 5,2 = 3,2.
(+5,3) + (−7,7) = (−2,4). On conserve le signe « − » de la plus grande distance à zéro (7,7 > 5,3) et on effectue la différence 7,7 − 5,3 = 2,4.
2. Soustractions de nombres relatifs
Soustraire deux nombres relatifs revient à additionner le premier terme et l’opposé du second terme.
Exemple 1 :
(+7,4) − (+8,9) = (+7,4) + (−8,9) car l’opposé de (+8,9) est (−8,9). Cette opération revient à l’addition de deux nombres relatifs de signes différents. On a donc :
(+7,4) − (+8,9) = (−1,5).

Exemple 2 :
(−4,5) − (+3,2) = (−4,5) + (−3,2) car l’opposé de (+3,2) est (−3,2). Cette opération revient à l’addition de deux nombres relatifs de même signe. On a donc :
(−4,5) − (+3,2) = (−7,7).

Exemple 3 :
(−4,3) − (−2,6) = (−4,3) + (+2,6) car l’opposé de (−2,6) est (+2,6). Cette opération revient à l’addition de deux nombres relatifs de signes différents. On a donc :
(−4,3) − (−2,6) = (−1,7).
3. Simplifications d'écritures
Afin d’alléger les écritures, on peut supprimer les parenthèses en respectant la règle de signes.
 
Lorsque deux signes identiques se suivent, on obtient un signe positif.
Soit a un nombre relatif. On a :
+ (+a) = +a et − (−a) = +a.

Exemple :
− (−4,5) = +4,5 ;
+ (+3,8) = +3,8.
Lorsque deux signes contraires se suivent, on obtient un signe négatif.
Soit a un nombre relatif. On a :
+ (−a) = −a et − (+a) = −a.

Exemple :
+ (−8,3) = −8,3 ;
− (+5,1) = −5,1.

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