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Additions et soustractions de fractions

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Objectifs
De nombreuses situations issues du domaine professionnel font appel à des nombres sous forme d'écriture fractionnaire. Pour additionner ou soustraire des fractions, on distingue le cas où les dénominateurs sont égaux et celui où les dénominateurs sont différents.

Comment additionner et soustraire les fractions dans ces deux cas ?
1. Règles des écritures fractionnaires
Une fraction est une partie d'une quantité (l'unité) qu'on a découpée en parts égales.
Une écriture fractionnaire
est composée de deux parties, le numérateur et le dénominateur, séparées par un trait de fraction.
(avec b ≠ 0)
Exemple 1 : Un terrain est découpé en 20 parcelles égales comme ci-dessous.
Quelle proportion de parcelles est colorée par rapport à la surface totale du terrain ?

Il faut identifier le numérateur et le dénominateur pour définir les proportions de parcelles coloriées.

Étape 1 : Écriture fractionnaire des parcelles jaunes
Sur les 20 parcelles du terrain, 7 sont en jaune : numérateur = 7 et dénominateur = 20
La partie jaune correspond donc à .

Étape 2 : Écriture fractionnaire des parcelles bleues
Sur les 20 parcelles du terrain, 10 sont en bleu : numérateur = 10 et dénominateur = 20
La partie bleue correspond donc à .

Étape 3 : Écriture fractionnaire de toutes les parcelles coloriées
Sur les 20 parcelles, 17 sont colorées : numérateur = 17 et dénominateur = 20
On a :

Exemple 2 : On propose de découper deux gâteaux de taille identique. Le premier est découpé en 20 parts identiques et le second en 15. Les parts entre les deux gâteaux ont une taille différente.
Dans chaque cas, quelle proportion de parts est colorée par rapport au total ?

Étape 1 : Écriture fractionnaire du gâteau 1
Sur les 20 parts, 7 sont jaunes : numérateur = 7 et dénominateur = 20
La partie jaune correspond donc à du gâteau 1.

Étape 2 : Écriture fractionnaire du gâteau 2
Sur les 15 parts, 5 sont bleues : numérateur = 5 et dénominateur = 15
La partie bleue correspond donc à du gâteau 2.

Étape 3 : Écriture fractionnaire pour les 2 gâteaux
Le découpage des gâteaux est différent → Dénominateurs inégaux
Au total, il y a de gâteau coloré.
Dans ce cas, il est beaucoup plus difficile d’additionner les parts jaunes du premier gâteau et les parts bleues du deuxième gâteau.
Pour additionner ou soustraire des fractions, on différencie le cas où les dénominateurs sont égaux  de celui où les dénominateurs sont différents.
2. Additions et soustractions de fractions avec le même dénominateur
Pour additionner (ou soustraire) 2 écritures fractionnaires de même dénominateur, on garde le dénominateur commun et on additionne (ou on soustrait) les numérateurs.

Exemples :

3. Additions et soustractions de fractions de dénominateurs différents
Méthodologie pour additionner (ou soustraire) 2 écritures fractionnaires de dénominateurs différents :
  1. On les transforme pour que les dénominateurs soient égaux
  2. On garde le dénominateur commun
  3. On additionne (ou on soustrait) les numérateurs

Exemple 1 : Calculer .

Étape 1 : Vérifier si les dénominateurs sont égaux ou non
Dénominateurs : 5 et 20 → Les dénominateurs sont différents.

Étape 2 
: Transformer les dénominateurs pour qu'ils soient égaux.
On remarque que × 4 = 20 → Un dénominateur est multiple de l'autre
Il faut donc multiplier le dénominateur par 4 pour obtenir 20.
Rappel : On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Il faut donc aussi multiplier le numérateur par 4 pour ne pas changer la valeur du nombre fractionnaire :


Étape 3 : Additionner les numérateurs

Exemple 2 : Calculer .
On écrit 7 sous la forme , et on remarque que → Un dénominateur est multiple de l'autre :

Exemple 3 : Calculer .
Les dénominateurs sont différents, mais on remarque que 9 × 3 = 27 → Un dénominateur est multiple de l'autre :

Exemple 4 : Calculer .
Les dénominateurs sont différents et non multiples.
Pour appliquer les règles d’addition et de soustraction, il faut un dénominateur commun en établissant la liste des multiples de chacun des dénominateurs.

Étape 1 : Lister les multiples de chacun des dénominateurs.
• Multiples de 3 : 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; etc.
• Multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; etc.
12 est un multiple pour les deux nombres, on peut donc l’utiliser comme dénominateur commun.

Étape 2 : Transformer les dénominateurs pour qu'ils soient égaux



Étape 3 : Additionner les numérateurs.
L'essentiel
Pour additionner ou soustraire des fractions, on différencie le cas où les dénominateurs sont égaux de celui où les dénominateurs sont différents.

Pour additionner (ou soustraire) 2 écritures fractionnaires de même dénominateur, on garde le dénominateur commun et on additionne (ou on soustrait) les numérateurs.

Pour additionner (ou soustraire) 2 écritures fractionnaires de dénominateurs différents :
  1. On les transforme pour que les dénominateurs soient égaux
  2. On garde le dénominateur commun
  3. On additionne (ou on soustrait) les numérateurs

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