Mesures et incertitudes
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Objectif
Mesurer une grandeur en sciences expérimentales ne
consiste pas uniquement à lui donner une valeur, mais
aussi à lui associer une incertitude afin de qualifier
la qualité de la mesure.
En sciences expérimentales, on utilise des instruments
de mesure, qui permettent de déterminer la valeur
d’une grandeur.
1. La mesure
a. Un peu de vocabulaire...
• Le mesurande = grandeur à
mesurer.
• Le mesurage (ou mesure) = ensemble des opérations permettant d’obtenir la valeur de la grandeur. La mesure peut être directe (utilisation d’un instrument de mesure) ou indirecte (grâce à une relation).
• La valeur vraie (Mvrai) = résultat si le mesurage était parfait (sans aucune erreur).
• La mesure (m) = valeur trouvée expérimentalement.
• Le résultat du mesurage = ensemble des valeurs attribuées à un mesurande, assorti d’un intervalle de valeurs possibles.
• L'erreur de mesure (m - Mvrai) = différence entre la valeur mesurée et la vraie.
Remarque: le résultat d'un mesurage n'est jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure.
• Le mesurage (ou mesure) = ensemble des opérations permettant d’obtenir la valeur de la grandeur. La mesure peut être directe (utilisation d’un instrument de mesure) ou indirecte (grâce à une relation).
• La valeur vraie (Mvrai) = résultat si le mesurage était parfait (sans aucune erreur).
• La mesure (m) = valeur trouvée expérimentalement.
• Le résultat du mesurage = ensemble des valeurs attribuées à un mesurande, assorti d’un intervalle de valeurs possibles.
• L'erreur de mesure (m - Mvrai) = différence entre la valeur mesurée et la vraie.
Remarque: le résultat d'un mesurage n'est jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure.
b. Exemple type
On désire connaître la longueur d’un
crayon, sachant que le mesurande est la longueur L du
crayon. L’instrument de mesure utilisé est
une règle graduée. Le mesurage est
effectué (avec une règle graduée) en
millimètres.
La valeur vraie est la longueur L du crayon (inconnue). La mesure est L = 16,6 cm.
Si l’erreur est de 0,1 cm, alors le résultat de la mesure est L = 16,6 ± 0,1 cm.
La valeur vraie est la longueur L du crayon (inconnue). La mesure est L = 16,6 cm.
Si l’erreur est de 0,1 cm, alors le résultat de la mesure est L = 16,6 ± 0,1 cm.
2. Notion d'erreur et d'incertitude
a. Notion d'erreur
• Lorsqu’un même opérateur
réalise N mesures dans les mêmes conditions
expérimentales et avec le même instrument de
mesure, on estime la valeur du mesurande par la valeur
moyenne .
• Un opérateur commet une erreur aléatoire (notée ERa) lorsqu’il commet une erreur de lecture, une erreur liée à l’appareil, ou une erreur liée aux conditions extérieures…
L’erreur aléatoire est la différence entre une valeur mesurée mi et la valeur moyenne, soit
• Un opérateur commet une erreur systématique (notée ERs) lorsqu’il commet une erreur liée au réglage du zéro, une erreur de méthode, …
L’erreur systématique est la différence entre la mesure vraie et la valeur moyenne, soit :
NB : Une erreur de mesure est constituée d’une erreur aléatoire et d’une erreur systématique.
Par exemple, lorsque l’opérateur mesure la longueur du crayon, il peut utiliser une règle déformée ( = ERs), ou se tromper en lisant les graduations ( = ERa).
• Un opérateur commet une erreur aléatoire (notée ERa) lorsqu’il commet une erreur de lecture, une erreur liée à l’appareil, ou une erreur liée aux conditions extérieures…
L’erreur aléatoire est la différence entre une valeur mesurée mi et la valeur moyenne, soit
• Un opérateur commet une erreur systématique (notée ERs) lorsqu’il commet une erreur liée au réglage du zéro, une erreur de méthode, …
L’erreur systématique est la différence entre la mesure vraie et la valeur moyenne, soit :
NB : Une erreur de mesure est constituée d’une erreur aléatoire et d’une erreur systématique.
Par exemple, lorsque l’opérateur mesure la longueur du crayon, il peut utiliser une règle déformée ( = ERs), ou se tromper en lisant les graduations ( = ERa).
b. Incertitude de mesure
L’incertitude de mesure ΔM est
un paramètre associé au mesurage
caractérisant la dispersion des valeurs
attribuées au mesurande.
Le résultat d’un mesurage est donné sous forme d’un intervalle de valeurs probables M = m ± ΔM, associé à un niveau de confiance.
Si l’incertitude s est déterminée sous forme statistique, on dit que l’incertitude est de type A. On peut utiliser diverses méthodes pour l’évaluer : moyenne, écart-type...
Dans les autres cas, on dit que l’incertitude est de type B.
L’intervalle autour du résultat du mesurage comprend une fraction élevée de valeurs attribuées au mesurande (distribution de Gauss).
Le résultat d’un mesurage est donné sous forme d’un intervalle de valeurs probables M = m ± ΔM, associé à un niveau de confiance.
Si l’incertitude s est déterminée sous forme statistique, on dit que l’incertitude est de type A. On peut utiliser diverses méthodes pour l’évaluer : moyenne, écart-type...
Dans les autres cas, on dit que l’incertitude est de type B.
L’intervalle autour du résultat du mesurage comprend une fraction élevée de valeurs attribuées au mesurande (distribution de Gauss).
L’incertitude-type élargie
s’exprime sous la forme: ΔM =
ks
avec s : incertitude type et k : facteur d’élargissement
avec s : incertitude type et k : facteur d’élargissement
(k= 2 pour un niveau de confiance de 95%)
3. Expression et acceptabilité d'un
résultat
a. Notation scientifique et ingénieur
Un résultat numérique peut
s’écrire de plusieurs façons :
• En notation scientifique: le nombre s’écrit sous la forme ± a × 10n, avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9 ( et n, nombre entier ).
• En notation ingénieur: le nombre s’écrit sous la forme ± a × 10n, avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 999 ( et, n un nombre entier multiple de 3 ).
• En notation scientifique: le nombre s’écrit sous la forme ± a × 10n, avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9 ( et n, nombre entier ).
• En notation ingénieur: le nombre s’écrit sous la forme ± a × 10n, avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 999 ( et, n un nombre entier multiple de 3 ).
b. Chiffres significatifs et précision
Dans un nombre, les chiffres à partir du
premier chiffre différent de zéro sont
TOUS significatifs.
Exemples: m = 60 g contient 2 chiffres significatifs/ L = 0,603 m contient 3 chiffres significatifs.
Par convention, le dernier chiffre significatif est
donné avec une précision de ±
0,5.
Exemple: R = 47 Ω signifie que la valeur de la résistance est comprise entre 46,5 Ω et 47,5 Ω.
c. Résultat d'un calcul
• Le résultat d’un calcul ne peut
pas être plus précis que la
grandeur.
• Le résultat ne peut donc pas contenir plus de chiffres significatifs que la grandeur.
• Le résultat d’un calcul résulte donc d’un arrondi (= valeur approchée du nombre en réduisant le nombre de chiffres significatifs).
• Le résultat ne peut donc pas contenir plus de chiffres significatifs que la grandeur.
• Le résultat d’un calcul résulte donc d’un arrondi (= valeur approchée du nombre en réduisant le nombre de chiffres significatifs).
d. Précision relative
La précision relative est définie
par: £ =
L'essentiel
Une mesure se présente sous la forme M = m
± ΔM (avec une unité et un niveau de
confiance).
La valeur est présentée en écriture scientifique, avec un nombre correct de chiffres significatifs et une estimation de l’incertitude.
La valeur est présentée en écriture scientifique, avec un nombre correct de chiffres significatifs et une estimation de l’incertitude.
L’incertitude d'une mesure est liée aux
erreurs, aléatoires ou
systématiques commises lors de la lecture de la
valeur de la grandeur.
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