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Mesures et incertitudes

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Objectif

Mesurer une grandeur en sciences expérimentales ne consiste pas uniquement à lui donner une valeur, mais aussi à lui associer une incertitude afin de qualifier la qualité de la mesure.

En sciences expérimentales, on utilise des instruments de mesure, qui permettent de déterminer la valeur d’une grandeur.

1. La mesure

a. Un peu de vocabulaire...

• Le mesurande = grandeur à mesurer.
• Le mesurage (ou mesure) = ensemble des opérations permettant d’obtenir la valeur de la grandeur. La mesure peut être directe (utilisation d’un instrument de mesure) ou indirecte (grâce à une relation).
• La valeur vraie (Mvrai) = résultat si le mesurage était parfait (sans aucune erreur).
• La mesure (m) = valeur trouvée expérimentalement.
• Le résultat du mesurage = ensemble des valeurs attribuées à un mesurande, assorti d’un intervalle de valeurs possibles.
• L'erreur de mesure (m - Mvrai) = différence entre la valeur mesurée et la vraie.

Remarque: le résultat d'un mesurage n'est jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure.

b. Exemple type

On désire connaître la longueur d’un crayon, sachant que le mesurande est la longueur L du crayon. L’instrument de mesure utilisé est une règle graduée. Le mesurage est effectué (avec une règle graduée) en millimètres.
La valeur vraie est la longueur L du crayon (inconnue). La mesure est L = 16,6 cm.
Si l’erreur est de 0,1 cm, alors le résultat de la mesure est L = 16,6 ± 0,1 cm.

2. Notion d'erreur et d'incertitude

a. Notion d'erreur

• Lorsqu’un même opérateur réalise N mesures dans les mêmes conditions expérimentales et avec le même instrument de mesure, on estime la valeur du mesurande par la valeur moyenne

.

• Un opérateur commet une erreur aléatoire (notée ERa) lorsqu’il commet une erreur de lecture, une erreur liée à l’appareil, ou une erreur liée aux conditions extérieures…
L’erreur aléatoire est la différence entre une valeur mesurée mi et la valeur moyenne, soit

• Un opérateur commet une erreur systématique (notée ERs) lorsqu’il commet une erreur liée au réglage du zéro, une erreur de méthode, …
L’erreur systématique est la différence entre la mesure vraie et la valeur moyenne, soit :

NB : Une erreur de mesure est constituée d’une erreur aléatoire et d’une erreur systématique.

Par exemple, lorsque l’opérateur mesure la longueur du crayon, il peut utiliser une règle déformée ( = ERs), ou se tromper en lisant les graduations ( = ERa).

b. Incertitude de mesure

L’incertitude de mesure ΔM est un paramètre associé au mesurage caractérisant la dispersion des valeurs attribuées au mesurande.
Le résultat d’un mesurage est donné sous forme d’un intervalle de valeurs probables M = m ± ΔM, associé à un niveau de confiance.

Si l’incertitude s est déterminée sous forme statistique, on dit que l’incertitude est de type A. On peut utiliser diverses méthodes pour l’évaluer : moyenne, écart-type...
Dans les autres cas, on dit que l’incertitude est de type B.

L’intervalle autour du résultat du mesurage comprend une fraction élevée de valeurs attribuées au mesurande (distribution de Gauss).

L’incertitude-type élargie s’exprime sous la forme: ΔM = ks
avec s : incertitude type et k : facteur d’élargissement

(k= 2 pour un niveau de confiance de 95%)

3. Expression et acceptabilité d'un résultat

a. Notation scientifique et ingénieur

Un résultat numérique peut s’écrire de plusieurs façons :

• En notation scientifique: le nombre s’écrit sous la forme ± a × 10n, avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9 ( et n, nombre entier ).

• En notation ingénieur: le nombre s’écrit sous la forme ± a × 10n, avec a un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 999 ( et, n un nombre entier multiple de 3 ).

b. Chiffres significatifs et précision

Dans un nombre, les chiffres à partir du premier chiffre différent de zéro sont TOUS significatifs.

Exemples: m = 60 g contient 2 chiffres significatifs/ L = 0,603 m contient 3 chiffres significatifs.

Par convention, le dernier chiffre significatif est donné avec une précision de ± 0,5.

Exemple: R = 47 Ω signifie que la valeur de la résistance est comprise entre 46,5 Ω et 47,5 Ω.

c. Résultat d'un calcul

• Le résultat d’un calcul ne peut pas être plus précis que la grandeur.

• Le résultat ne peut donc pas contenir plus de chiffres significatifs que la grandeur.

• Le résultat d’un calcul résulte donc d’un arrondi (= valeur approchée du nombre en réduisant le nombre de chiffres significatifs).

d. Précision relative

La précision relative est définie par: £ =

Généralement exprimée en pourcentage, on remarque que plus la précision est faible, plus précis est le résultat obtenu.

L'essentiel

Une mesure se présente sous la forme M = m ± ΔM (avec une unité et un niveau de confiance).

La valeur est présentée en écriture scientifique, avec un nombre correct de chiffres significatifs et une estimation de l’incertitude.

L’incertitude d'une mesure est liée aux erreurs, aléatoires ou systématiques commises lors de la lecture de la valeur de la grandeur.

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