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Analyse spectrale

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Objectifs

Présenter l’analyse spectrale. Introduire le spectre de Fourier. Donner des applications de l’analyse spectrale dans le cadre des ondes sonores. Pour un son musical, présenter la hauteur et le timbre d’un son.

1. Découverte de l'analyse spectrale

On branche un haut parleur sur un générateur basses fréquences (GBF). On choisit le mode sinusoïde. On règle l’amplitude du signal afin d’avoir un son suffisamment audible. On ne touchera plus à ce réglage.

Si on fait varier la fréquence du signal, alors on peut percevoir un son grave (fréquences faibles) ou aigu (fréquences fortes). La gamme d’audition humaine est de 20 Hz à 20 KHz en théorie. Fixons la fréquence à 500 Hz.

Maintenant, si on passe au mode « triangle » ou « créneau » du GBF, le son perçu est différent.

En visualisant les trois signaux en fonction du temps, on vérifie que leur fréquence et amplitude sont identiques. Pourtant le son « triangle » parait un peu plus aigu que le son « sinusoïde », et le son « créneau » parait plus fort que les deux autres.

En fait, l’oreille perçoit des ondes acoustiques sinusoïdales. Puisque les sons « triangle » et « créneau » sont audibles, c’est donc qu’ils sont composés d’une ou plusieurs sinusoïdes. On peut dire que l’oreille a réalisé une analyse spectrale des sons.

2. Spectre de Fourier, propriétés

a. Présentation du spectre de Fourier

L’idée d’analyse spectrale fut imaginée par Joseph Fourier (1768-1830) préfet de l’Isère sous Napoléon Ier. Il postula en 1807 qu’un signal périodique peut s’écrire comme une somme de sinusoïdes.

L’analyse spectrale d’un signal consiste à trouver toutes les sinusoïdes qui contribuent significativement au signal : cela veut dire identifier les fréquences et les amplitudes des sinusoïdes associées. Un spectre de Fourier, ou spectre fréquentiel, est une représentation graphique permettant de visualiser ces deux grandeurs, où les fréquences sont en abscisses et les amplitudes en ordonnées.

Avec un signal périodique, le spectre se présente sous la forme de pics, situés au niveau de chaque fréquence intervenant dans le signal. Plus une fréquence contribue, plus le pic est haut, c'est-à-dire plus l’amplitude de la sinusoïde associée est forte.

Dans la pratique, l’outil informatique ou un système électronique permet d’établir le spectre. Avec les sons utilisés comme exemples, on a ainsi trouvé :

Le son « sinusoïde » n’est composé que d’une seule sinusoïde, sous la forme d’un pic, donc d’une seule fréquence. Le son est qualifié de son pur, comme celui joué par un diapason.

Pour les sons « triangle » et « créneau », plusieurs fréquences sont observées. La plus basse non nulle est nommée fréquence fondamentale f. Le temps

est la période du signal.

Les autres fréquences sont des multiples de cette fréquence. Ce sont des harmoniques. Les sons « triangle » et « créneau » sont qualifiés de sons complexes. Pour ces deux exemples, on note que seules les harmoniques impaires sont présentes :

, … mais pas 1000 Hz, 2000 Hz, etc.

Le triangle paraît plus aigu que la sinusoïde car il comporte une harmonique non négligeable à 1500 Hz (plus aigu que 500 Hz). Le créneau paraît plus fort car les amplitudes des fréquences sont plus grandes que pour les deux autres signaux.

b. Aspects mathématiques

Le signal périodique

décomposé en une somme de sinusoïdes (décomposé en série de Fourier) s’écrit sous la forme générale, avec n entier :

où

est la pulsation fondamentale (en rad/s) avec f la fréquence fondamentale (en Hz) et T la période correspondante (en s).

Le terme

est la composante continue du signal. Il peut être vu comme un décalage vertical de la courbe. Pour les sons,

dans la pratique.

Cette année, nous ne considérons que des signaux s’écrivant comme une somme de sinus ou de cosinus, mais pas les deux en même temps. En clair, pour tout n, on a soit

, soit

. Dans cette configuration, les amplitudes des pics sur le spectre correspondent soit aux

, soit aux

est l’amplitude du fondamental (= harmonique de rang 1) et

l’amplitude de l’harmonique de rang n.

En général, les harmoniques de rangs élevés sont d’amplitudes négligeables. En sommant les premières harmoniques, il est ainsi possible de reconstituer le signal en fonction du temps. Pour un signal créneau

, un calcul (hors programme) indique qu’il peut s’exprimer comme une somme de sinus :

En sommant les premiers termes, on a ainsi :

Les petites oscillations observées sur le signal reconstitué viennent du fait que l’on n’a pas pris toutes les harmoniques (on est allé jusqu’au rang 99). C’est le phénomène de Gibbs.

3. Application de l'analyse spectrale aux sons musicaux.

L’analyse fréquentielle intervient énormément en musique. On la rencontre notamment pour ce qui concerne le filtrage, le traitement, la synthèse de sons, etc. Certains de ces aspects seront repris dans le cours de spécialité. Une manifestation simple du spectre de Fourier peut être facilement obtenue avec une chaîne Hi-Fi, ou avec un logiciel de lecture de sons. En effet, les barres qui évoluent en fonction du temps quand on lit un morceau de musique n’est rien d’autre que le spectre de Fourier du son qui est en train d’être joué !

Après, en musique, certains termes spécifiques sont utilisés afin d’évoquer les notions que nous venons de voir. Notamment :

• La hauteur d’un son désigne la fréquence fondamentale d’un son musical. Notons que la plupart des instruments de musique émettent des sons complexes. En musique, il y a une correspondance entre le nom d’une note (do, ré, mi, …) et sa hauteur (fréquence). Par exemple, le son du diapason est le la international (le

) de fréquence 440 Hz.

• Le timbre prend en compte l’importance des harmoniques du son musical. En effet, si deux instruments différents jouent la même note (même fréquence fondamentale), le timbre varie d’un instrument à l’autre. Quelques exemples :

carillon	harpe	orgue	piano	trombone

Remarque : Il peut exister des exceptions à ce que nous avons vu, c'est-à-dire que des fréquences ne soient pas des multiples du fondamental. Cela peut par exemple correspondre à la superposition de deux sons complexes. On parle de son inharmonique.

L'essentiel

L’analyse fréquentielle correspond à la décomposition d’un signal périodique en une somme de sinusoïdes. Il en résulte un spectre de Fourier (spectre en fréquences). Il renseigne sur les fréquences qui composent le signal, et sur leur importance (amplitude de la sinusoïde associée).

Un signal

décomposé peut s’écrire comme :

est la pulsation fondamentale, et f la fréquence fondamentale. Les autres fréquences, multiples du fondamental, sont des harmoniques.

Si un son comporte une seule fréquence, c’est un son pur, sinon c’est un son complexe. En musique, la hauteur d’un son musical correspond à sa fréquence fondamentale. Le timbre traduit l’importance des harmoniques qui composent le spectre. Le timbre est lié à l’instrument utilisé.