Une conséquence de la relativité restreinte : caractère relatif du temps, dilatation des durées
Objectifs :
Lors de la fiche précédente, nous avons vu que
la célérité de la lumière dans le
vide est constante dans tout référentiel
galiléen. Nous allons voir une conséquence de
cela : la dilatation des durées. Après avoir
décrit ce phénomène, nous en donnerons
quelques preuves expérimentales.
1. Mise en évidence de la dilatation des
durées
Considérons deux miroirs parallèles, distants
d'une longueur L. Un photon (particule de
lumière) se déplace de l’un vers
l’autre, à la vitesse
, en faisant des
allers-retours.
Dans le référentiel (R’), lié aux miroirs et supposé galiléen, le mouvement perpétuel du photon constitue une « horloge de lumière ». En effet, la durée
requise pour aller d’un
miroir à l’autre est constante. Le photon fait
des allers-retours entre les deux miroirs.
Considérons que le montage se déplace à vitesse constante v par rapport à un observateur immobile lié à un référentiel (R). La trajectoire du photon vue par l’observateur se présente sous la forme de lignes brisées.
Comme (R) et (R’) sont en translation uniforme l’un par rapport à l’autre, si l’un est galiléen (ce que nous supposerons), l’autre l’est aussi. Ainsi, dans le référentiel galiléen (R), le photon se déplace à la vitesse c. Dans (R), le photon a une distance D à parcourir, plus longue que L. Le temps
qu’il met pour aller
d’un miroir à l’autre est ainsi plus
grand dans (R) que dans (R’). Ce
phénomène est la dilatation des
durées.
Calcul : D’après le théorème de Pythagore, on écrit que
.
Comme
,
et
, on a :
, ce qui donne
, puis
, et alors
ou 
Donc :
Remarque : Nous avons étudié le cas où le photon se propage selon un axe perpendiculaire au sens de déplacement de (R’). En effet, si le mouvement s’était effectué selon
, il aurait fallu prendre en
compte une autre conséquence de la relativité
restreinte : la compression des longueurs. Nous
n’en parlerons pas cette année, mais nous
précisons juste qu’elle n’agit que selon
la direction de
.

Dans le référentiel (R’), lié aux miroirs et supposé galiléen, le mouvement perpétuel du photon constitue une « horloge de lumière ». En effet, la durée

Considérons que le montage se déplace à vitesse constante v par rapport à un observateur immobile lié à un référentiel (R). La trajectoire du photon vue par l’observateur se présente sous la forme de lignes brisées.

Comme (R) et (R’) sont en translation uniforme l’un par rapport à l’autre, si l’un est galiléen (ce que nous supposerons), l’autre l’est aussi. Ainsi, dans le référentiel galiléen (R), le photon se déplace à la vitesse c. Dans (R), le photon a une distance D à parcourir, plus longue que L. Le temps


Calcul : D’après le théorème de Pythagore, on écrit que

Comme








Donc :

Remarque : Nous avons étudié le cas où le photon se propage selon un axe perpendiculaire au sens de déplacement de (R’). En effet, si le mouvement s’était effectué selon


2. La dilatation des durées : notion de temps
propre et impropre
On peut généraliser l'expérience
précédente à deux
référentiels galiléens (R) et
(R’) en translation uniforme l’un par
rapport à l’autre, à la vitesse
:
En relativité restreinte, le temps n’est pas absolu comme en mécanique non relativiste, mais il est relatif au référentiel dans lequel on le mesure. Ainsi, un événement étudié dans un référentiel est indiqué par
, c'est-à-dire par la
date et le lieu mesurés dans le
repère associé au
référentiel.
On appelle temps propre un intervalle de temps mesuré dans un référentiel entre deux événements qui se produisent en un même lieu dans le référentiel.
est ainsi le temps propre
mesuré dans (R’).
Cet intervalle de temps correspond à
pour un observateur lié au
référentiel fixe (R). Ces deux intervalles de
temps sont reliés par la relation établie au
1 :
, noté aussi
avec
, nommé facteur de
Lorentz
est nommé temps
impropre, dans le sens où c’est un temps
mesuré dans un référentiel où
les deux événements ne se produisent pas
au même endroit. Dans la pratique, c’est le
temps mesuré dans le
référentiel fixe, pour lequel l'objet
observé se déplace.
Propriétés :
→ Comme
, on a
, donc
et
. Ainsi,
. En conséquence, on a
toujours
. Pour un observateur dans le
référentiel fixe, le temps paraît
s’écouler plus lentement dans le
référentiel en mouvement que dans son
référentiel fixe.
→ Comme la formule utilise un terme en
, le sens de la vitesse
v n’a pas importance : on a le
même effet si (R’) se rapproche ou
s’éloigne de (R). C’est une
différence avec l’effet Doppler-Fizeau (voir
fiche dédiée).
→ On admet que les effets relativistes commencent à être perceptibles dès que v atteint 10 % de c. Pour cette valeur, on a
: variation de 0,5 % entre temps
propre et impropre.
→ En relativité restreinte, il n’y a pas de référentiel absolu, la vitesse entre les deux référentiels galiléens est relative (l’un par rapport à l’autre). Ainsi, on peut considérer aussi que (R’) est fixe et que (R) se déplace. Dans (R’), le temps semble s’écouler normalement pour un observateur dans (R’). Par contre, le temps semble s’écouler plus lentement dans (R) pour l’observateur lié à (R’). En clair, chaque observateur a l’impression que le temps s’écoule plus lentement dans le référentiel en mouvement par rapport à lui que dans son propre référentiel !
→ Imaginons que le référentiel (R’) soit celui d’une particule voyageant à la vitesse v par rapport à (R). Autrement dit, la particule est fixe dans (R’). Puisque
, la relation n’est
calculable que si
donc si
. Ainsi, une particule ne peut
pas avoir une vitesse supérieure à
c par rapport à un observateur
immobile dans un référentiel
galiléen.
Dans le cas où
,
: on ne voit pas «
vieillir » une particule voyageant avec la
célérité de la lumière. Seules
les particules de masse nulle ont cette possibilité
dans la pratique. Notons toutefois que lier un
référentiel à un photon est un
non-sens physique, car la célérité de
la lumière est constante dans tout
référentiel galiléen.
→ Pour appliquer la formule de dilatation des durées, il faut que les deux référentiels soient galiléens. Il est ainsi important que le référentiel en mouvement évolue à vitesse constante par rapport au référentiel fixe. Sinon, les résultats seront faux et même aberrants.


En relativité restreinte, le temps n’est pas absolu comme en mécanique non relativiste, mais il est relatif au référentiel dans lequel on le mesure. Ainsi, un événement étudié dans un référentiel est indiqué par

On appelle temps propre un intervalle de temps mesuré dans un référentiel entre deux événements qui se produisent en un même lieu dans le référentiel.

Cet intervalle de temps correspond à





Propriétés :
→ Comme






→ Comme la formule utilise un terme en

→ On admet que les effets relativistes commencent à être perceptibles dès que v atteint 10 % de c. Pour cette valeur, on a

→ En relativité restreinte, il n’y a pas de référentiel absolu, la vitesse entre les deux référentiels galiléens est relative (l’un par rapport à l’autre). Ainsi, on peut considérer aussi que (R’) est fixe et que (R) se déplace. Dans (R’), le temps semble s’écouler normalement pour un observateur dans (R’). Par contre, le temps semble s’écouler plus lentement dans (R) pour l’observateur lié à (R’). En clair, chaque observateur a l’impression que le temps s’écoule plus lentement dans le référentiel en mouvement par rapport à lui que dans son propre référentiel !
→ Imaginons que le référentiel (R’) soit celui d’une particule voyageant à la vitesse v par rapport à (R). Autrement dit, la particule est fixe dans (R’). Puisque



Dans le cas où


→ Pour appliquer la formule de dilatation des durées, il faut que les deux référentiels soient galiléens. Il est ainsi important que le référentiel en mouvement évolue à vitesse constante par rapport au référentiel fixe. Sinon, les résultats seront faux et même aberrants.
3. Preuves expérimentales de la dilatation des
durées
Durée de vie des muons
Dans la haute atmosphère, à environ 50 km d’altitude, des particules de hautes énergies réagissent avec les atomes présents. Cela donne naissance à des muons. Ces particules sont de la même famille que les électrons (les leptons), mais sont 200 fois plus lourdes et ont une durée de vie de
. En voyageant avec une vitesse
proche de celle de la lumière, on pourrait
s’attendre à ce qu’elles parcourent en
une distance d telle que
, et ainsi
.
Ces particules ne devraient pas être détectables à la surface terrestre, 50 km plus bas. Or, c’est le cas. En effet, même si la durée de vie du muon est bien de
dans le référentiel
où le muon est au repos, elle est plus forte
dans le référentiel terrestre par
dilatation des durées.
Naturellement, ce phénomène d’allongement de la durée de vie de particules instables a été également observé auprès des accélérateurs de particules.
Horloges atomiques embarquées : expérience de Hafele–Keating
En 1971, afin de vérifier le phénomène de dilatation des durées, des horloges atomiques furent embarquées dans deux avions pour faire deux fois le tour du monde, un avion vers l’est, l’autre vers l’ouest. Une autre horloge resta sur Terre. Il fut constaté un décalage des horloges, en accord avec la théorie de la relativité restreinte, même si la relativité générale est aussi à prendre en compte dans cette expérience.
Le GPS
Le Global Positioning System est un système de guidage, utilisé par exemple par les automobilistes. Il consiste en un ensemble de satellites qui transmettent en continu des signaux par ondes électromagnétiques à la surface terrestre, indiquant leur position, ainsi que le temps mesuré par l’horloge atomique du satellite. Quand un récepteur GPS capte ces signaux, il compare le temps du satellite à sa propre horloge, afin de trouver la durée qu’il a fallu au signal pour parvenir jusqu’à lui. Comme le signal voyage à la célérité de la lumière, le récepteur calcule sa distance par rapport au satellite. Avec 4 satellites GPS, le récepteur détermine sa position : longitude, latitude, altitude.
Cependant, de part sa vitesse orbitale, le satellite se déplace par rapport au récepteur. Le phénomène de dilatation des durées intervient, pouvant fausser les mesures. D’autre part, la théorie de la relativité générale précise que le temps ne s’écoule pas à la même vitesse suivant que l’on soit proche d’un objet massif (à la surface terrestre) ou pas (en orbite), ce qui rajoute une source d’erreur supplémentaire. Il est ainsi nécessaire d’opérer des corrections relativistes. Sans ces ajustements, le décalage temporel entre les satellites et le récepteur s’accentuerait de quelques
par jour, ce qui causerait une
erreur de localisation qui grandirait de plusieurs
kilomètres par jour …
Dans la haute atmosphère, à environ 50 km d’altitude, des particules de hautes énergies réagissent avec les atomes présents. Cela donne naissance à des muons. Ces particules sont de la même famille que les électrons (les leptons), mais sont 200 fois plus lourdes et ont une durée de vie de




Ces particules ne devraient pas être détectables à la surface terrestre, 50 km plus bas. Or, c’est le cas. En effet, même si la durée de vie du muon est bien de

Naturellement, ce phénomène d’allongement de la durée de vie de particules instables a été également observé auprès des accélérateurs de particules.
Horloges atomiques embarquées : expérience de Hafele–Keating
En 1971, afin de vérifier le phénomène de dilatation des durées, des horloges atomiques furent embarquées dans deux avions pour faire deux fois le tour du monde, un avion vers l’est, l’autre vers l’ouest. Une autre horloge resta sur Terre. Il fut constaté un décalage des horloges, en accord avec la théorie de la relativité restreinte, même si la relativité générale est aussi à prendre en compte dans cette expérience.
Le GPS
Le Global Positioning System est un système de guidage, utilisé par exemple par les automobilistes. Il consiste en un ensemble de satellites qui transmettent en continu des signaux par ondes électromagnétiques à la surface terrestre, indiquant leur position, ainsi que le temps mesuré par l’horloge atomique du satellite. Quand un récepteur GPS capte ces signaux, il compare le temps du satellite à sa propre horloge, afin de trouver la durée qu’il a fallu au signal pour parvenir jusqu’à lui. Comme le signal voyage à la célérité de la lumière, le récepteur calcule sa distance par rapport au satellite. Avec 4 satellites GPS, le récepteur détermine sa position : longitude, latitude, altitude.
Cependant, de part sa vitesse orbitale, le satellite se déplace par rapport au récepteur. Le phénomène de dilatation des durées intervient, pouvant fausser les mesures. D’autre part, la théorie de la relativité générale précise que le temps ne s’écoule pas à la même vitesse suivant que l’on soit proche d’un objet massif (à la surface terrestre) ou pas (en orbite), ce qui rajoute une source d’erreur supplémentaire. Il est ainsi nécessaire d’opérer des corrections relativistes. Sans ces ajustements, le décalage temporel entre les satellites et le récepteur s’accentuerait de quelques

L'essentiel
Une conséquence de la théorie de la
relativité restreinte est que le temps
n’est pas absolu, mais relatif au
référentiel de mesure.
Soit un référentiel (R’) se déplaçant à vitesse constante v par rapport à un référentiel galiléen immobile (R). Si une durée
entre deux
événements immobiles dans (R’) est
mesurée dans ce même référentiel
(R’) (temps propre), un observateur dans (R)
mesurera un intervalle de temps
entre ces deux événements (temps
impropre), de sorte que :
, ou
avec
(facteur de
Lorentz)
:
c’est le phénomène de dilatation des
durées.
Pour un observateur dans (R), le temps paraît s’écouler plus lentement dans le référentiel en mouvement (R’) que dans son référentiel fixe (R).
Soit un référentiel (R’) se déplaçant à vitesse constante v par rapport à un référentiel galiléen immobile (R). Si une durée






Pour un observateur dans (R), le temps paraît s’écouler plus lentement dans le référentiel en mouvement (R’) que dans son référentiel fixe (R).

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