Indépendance de deux évènements- Première- Mathématiques
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Quiz et exercices
1
- Vidéos et podcasts
- Définir l'indépendance de deux évènements.
- Interpréter l'indépendance de deux évènements en terme de probabilités.
- Représenter la répétition de deux expériences indépendantes par un arbre pondéré ou un tableau à double entrée.
- Deux évènements A et B sont
indépendants si
.
- Si A et B sont indépendants, alors
et B le sont aussi.
- Si deux évènements A et B sont
indépendants de probabilités non nulles,
alors la probabilité de B ne dépend pas de la
réalisation ou non de A :
.
- On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes par un arbre dont les probabilités ne sont pas conditionnelles car les évènements sont indépendants.
- On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes dans un tableau à double entrée où par exemple la première ligne contient les résultats de la première épreuve, et la première colonne ceux de la deuxième (ou inversement).
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne dépend pas de celle de l’autre. On va donner une définition mathématique de cette notion.
Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A
B) = P(A) × P(B).
Attention !
« Incompatibles » est différent de
« indépendants ». En effet, si A et
B sont deux évènements incompatibles de
probabilités non nulles, on a P(A 
B) = 0 avec P(A) × P(B)
≠ 0.
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A = "obtenir une figure (valet, dame ou roi)" et B = "obtenir un carreau".
On a alors A
B = "obtenir un valet de carreau ou une dame de
carreau ou un roi de carreau".On a P( A
B ) = 
.De même P(A) =
= 
et P(B) = 
.On a P(A) × P(B) = P(A
B), les
évènements sont donc indépendants.
Si A et B sont deux évènements indépendants, alors
et B le sont aussi.
On a :
Donc
or A et B sont indépendants,donc
d'où 
, les évènements 
et B sont donc
indépendants.
Conséquence
Soient A et B deux évènements
indépendants de probabilités non nulles.
On a donc : 
.
En divisant par P(A) les deux membres de cette
égalité on obtient : 
, c'est-à-dire
. En utilisant la
propriété ci-dessus, 
et B sont eux aussi indépendants, on a
donc aussi 
.
On a donc la propriété suivante :
Si deux évènements A et B sont indépendants de probabilités non nulles, alors la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation ou non de A :
.
On répète deux fois une expérience
appelée épreuve.
On dira que ces épreuves sont indépendantes
dès lors que l’issue d’une
épreuve ne dépend pas de celles qui
l’ont précédée.
Si une expérience aléatoire est la
répétition de 2 épreuves
identiques et indépendantes, elle peut
être représentée par un arbre
pondéré (à deux niveaux de
branches) ou un tableau à double
entrée.
Une issue est alors une liste ordonnée de
résultats.
On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes par un arbre dont les probabilités ne sont pas conditionnelles car les évènements sont indépendants.
Remarque : PA(B) = P(B) car les événements sont indépendants.
La probabilité de
chaque issue, représentée par un chemin,
est le produit des probabilités de chaque
branche de ce chemin. Ainsi :
P(A B) = P(A)
× P(B)
Une épreuve consiste à lancer un dé normal à six faces, non truqué (équiprobabilité) deux fois de suite.
On s’intéresse aux évènements suivants :
A : « le résultat est un 1 ou un 6
» ;
B : « le résultat est 2, 3 ou 5 »
;
C : «le résultat est 4 ».
On peut construire l’arbre
pondéré associée à
l’expérience :
La probabilité de chaque issue,
représentée par un chemin, est le
produit des probabilités de chaque branche de
ce chemin. Ainsi : 
Comme les deux épreuves successives sont
indépendantes, on a : 
donc 
On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes dans un tableau à double entrée où par exemple la première ligne contient les résultats de la première épreuve, et la première colonne ceux de la deuxième (ou inversement).
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On peut représenter la succession d'épreuves précédente dans un tableau à double entrée, en indiquant les résultats de la première épreuve dans la première colonne et les résultats de la deuxième épreuve dans la première ligne.
| A | B | C | |
| A |
|
|
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| B |
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|
| C |
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|
Les résultats sont laissés sous forme
de fraction dans la totalité des cas (on
pourrait passer en fractions irréductibles).
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