Indépendance de deux évènements - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Indépendance de deux évènements

Objectif
Définir l'indépendance de deux évènements.
Interpréter l'indépendance de deux évènements.
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne dépend pas de celle de l’autre. On va donner une définition mathématique de cette notion.
1. Indépendance de deux évènements
Définition
Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
Attention !
« Incompatibles » est différent de « indépendants ». En effet, si A et B sont deux évènements incompatibles de probabilités non nulles, on a P(A B) = 0 avec P(A) × P(B) ≠ 0.

Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A = "obtenir une figure (valet, dame ou roi)" et B = "obtenir un carreau".
On a alors A B = "obtenir un valet de carreau ou une dame de carreau ou un roi de carreau".
On a P( A B ) = .
De même P(A) = = et P(B) = .
On a P(A) × P(B) = P(A B), les évènements sont donc indépendants.
 
Propriété
Si A et B sont deux évènements indépendants, alors et B le sont aussi.

Preuve :
On a :
Donc or A et B sont indépendants,
donc d'où , les évènements et B sont donc indépendants.
 
2. Conséquences
Soient A et B deux évènements indépendants de probabilités non nulles. On a donc : .
En divisant par P(A) les deux membres de cette égalité on obtient : , c'est-à-dire . En utilisant la propriété ci-dessus, et B sont eux aussi indépendants, on a donc aussi .

On a donc la propriété suivante :
Si deux évènements A et B sont indépendants de probabilités non nulles, alors la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation ou non de A : .

L'essentiel
Deux évènements A et B sont indépendants si .

Si A et B sont indépendants, alors et B le sont aussi.

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