Indépendance de deux évènements
Objectif
Définir l'indépendance de deux
évènements.
Interpréter l'indépendance de deux évènements.
Interpréter l'indépendance de deux évènements.
Dans le langage courant, on dit que deux
événements sont indépendants quand la
réalisation de l’un ne dépend pas de celle
de l’autre. On va donner une définition
mathématique de cette notion.
1. Indépendance de deux évènements
Définition
« Incompatibles » est différent de « indépendants ». En effet, si A et B sont deux évènements incompatibles de probabilités non nulles, on a P(A
B) = 0 avec P(A) × P(B) ≠
0.
Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A = "obtenir une figure (valet, dame ou roi)" et B = "obtenir un carreau".
On a alors A
B = "obtenir un valet de carreau ou une dame de carreau
ou un roi de carreau".
On a P( A
B ) = 
.
De même P(A) =
= 
et P(B) = 
.
On a P(A) × P(B) = P(A
B), les évènements sont donc
indépendants.
Propriété
Preuve :
Deux évènements A et B sont dits
indépendants si P(A 
B) = P(A) × P(B).
Attention !B) = P(A) × P(B).
« Incompatibles » est différent de « indépendants ». En effet, si A et B sont deux évènements incompatibles de probabilités non nulles, on a P(A
B) = 0 avec P(A) × P(B) ≠
0.Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A = "obtenir une figure (valet, dame ou roi)" et B = "obtenir un carreau".
On a alors A
B = "obtenir un valet de carreau ou une dame de carreau
ou un roi de carreau".On a P( A
B ) = .De même P(A) =
= et P(B) = .On a P(A) × P(B) = P(A
B), les évènements sont donc
indépendants.Propriété
Si A et B sont deux évènements
indépendants, alors 
et B le sont aussi.
et B le sont aussi.
Preuve :
On a : 
Donc
or A et B sont indépendants,
donc
d'où 
,
les évènements 
et B sont donc
indépendants.
Donc
or A et B sont indépendants,donc
d'où ,
les évènements et B sont donc
indépendants.
2. Conséquences
Soient A et B deux évènements
indépendants de probabilités non nulles. On a
donc : 
.
En divisant par P(A) les deux membres de cette égalité on obtient :
, c'est-à-dire 
. En utilisant la
propriété ci-dessus, 
et B sont eux aussi
indépendants, on a donc aussi 
.
On a donc la propriété suivante :
.En divisant par P(A) les deux membres de cette égalité on obtient :
, c'est-à-dire . En utilisant la
propriété ci-dessus, et B sont eux aussi
indépendants, on a donc aussi .On a donc la propriété suivante :
Si deux évènements A et B sont
indépendants de probabilités non nulles,
alors la probabilité de B ne dépend pas de
la réalisation ou non de A : 
.
.
L'essentiel
Deux évènements A et B sont indépendants
si 
.
Si A et B sont indépendants, alors
et B le sont aussi.
.Si A et B sont indépendants, alors
et B le sont aussi.
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