Exploiter la relation de Bernoulli
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Exploiter la relation de Bernoulli, celle-ci étant fournie, pour étudier qualitativement puis quantitativement l’écoulement d’un fluide incompressible en régime permanent.
- Les liquides sont des fluides incompressibles car leur masse volumique est une constante pour une température fixée.
- En régime permanent indépendant du temps (aussi appelé régime stationnaire), un fluide s’écoule de telle façon que la valeur v de sa vitesse en chaque point est indépendante du temps. Lorsqu’un fluide s’écoule, la trajectoire d’une particule de fluide est appelée une ligne de courant. Cette ligne de courant est orientée dans le sens du déplacement du fluide. Un tube de courant est composé par l’ensemble des lignes de courant.
- La relation de Bernoulli, pour tous les points d’une même ligne de courant, relie la pression, la vitesse et la coordonnée verticale.
- Pression, vitesse
- Débit volumique
En régime permanent indépendant du temps (aussi appelé régime stationnaire), un fluide s’écoule de telle façon que la valeur v de sa vitesse en chaque point est indépendante du temps.
Un tube de courant est constitué par l’ensemble des lignes de courant des différentes particules de fluide.

Lignes et tube de courant
On considère un liquide qui s’écoule dans un tuyau. On repère un point d’une ligne de courant par sa coordonnée horizontale x et par sa coordonnée verticale z.

Repérage d’un point d’une ligne de courant
En chaque point de la ligne de courant, on définit la pression P du fluide, la vitesse v d’écoulement, et la coordonnée verticale z.
On considère deux points A et B d’une même ligne de courant. La force pressante F est la seule force non conservative, la variation d’énergie mécanique d’un élément de fluide de masse m et de volume V entre les deux points s’écrit donc :
soit
On admet que
On obtient alors :
On divise tous les membres de cette relation par le volume V.
On fait apparaitre la masse volumique ()
et on obtient la relation pour deux
points A et B d’une même ligne de
courant.
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avec :
|
On considère un fluide incompressible qui s’écoule dans un tuyau de section variable.

Conservation du débit volumique
Le débit volumique correspond au volume de liquide qui traverse une section du tuyau pendant une seconde.
On peut aussi l’exprimer en fonction de la surface S de la section et de la vitesse d’écoulement du fluide.
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avec :
|
On considère un fluide qui s’écoule à l’horizontale dans un tuyau dont la section varie.
On étudie deux points A et B qui appartiennent à la même ligne de courant horizontale.

Ligne de courant horizontale
On en déduit que dans le cas qui nous intéresse : vA > vB (car SA < SB).
La relation de Bernoulli s’écrit de la manière suivante.
Les points A et B ont la même coordonnée verticale (zA = zB), cette relation peut donc se réécrire :
On a vA > vB donc vA2 > vB2.
On en déduit la relation d’ordre entre les pressions exercées par le fluide aux points A et B.
PA < PB
Voici ci-dessous l’énoncé de l’effet Venturi qui correspond au résultat qui vient d’être trouvé.
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