Exploiter la relation de Bernoulli

En régime permanent indépendant du temps (aussi appelé régime stationnaire), un fluide s’écoule de telle façon que la valeur v de sa vitesse en chaque point est indépendante du temps.

Un tube de courant est constitué par l’ensemble des lignes de courant des différentes particules de fluide.

Lignes et tube de courant

On considère un liquide qui s’écoule dans un tuyau. On repère un point d’une ligne de courant par sa coordonnée horizontale x et par sa coordonnée verticale  z.

Repérage d’un point d’une ligne de courant

En chaque point de la ligne de courant, on définit la pression P du fluide, la vitesse v d’écoulement, et la coordonnée verticale z.

On considère deux points A et B d’une même ligne de courant. La force pressante F est la seule force non conservative, la variation d’énergie mécanique d’un élément de fluide de masse m et de volume V entre les deux points s’écrit donc :

soit 

On admet que 

On obtient alors :

On divise tous les membres de cette relation par le volume V.

On fait apparaitre la masse volumique () et on obtient la relation pour deux points A et B d’une même ligne de courant.

avec : v la vitesse d’écoulement du fluide, en m·s–1 z la coordonnée verticale, en m P la pression du fluide, en pascal (Pa) ρ la masse volumique du fluide, en kg·m–3 g l’intensité de la pesanteur, en N·kg–1

On considère un fluide incompressible qui s’écoule dans un tuyau de section variable.

Conservation du débit volumique

Rappel
Le débit volumique correspond au volume de liquide qui traverse une section du tuyau pendant une seconde.
On peut aussi l’exprimer en fonction de la surface S de la section et de la vitesse d’écoulement du fluide.

avec : DV le débit volumique, en m3·s–1 V le volume de liquide qui traverse une section du tuyau, en m3 Δt la durée, en s v la vitesse d’écoulement du fluide, en m·s–1 S la surface de la section du tuyau, en m2

On considère un fluide qui s’écoule à l’horizontale dans un tuyau dont la section varie.

On étudie deux points A et B qui appartiennent à la même ligne de courant horizontale.

Ligne de courant horizontale

On en déduit que dans le cas qui nous intéresse : v_A > v_B (car S_A < S_B).

La relation de Bernoulli s’écrit de la manière suivante.

Les points A et B ont la même coordonnée verticale (z_A = z_B), cette relation peut donc se réécrire :

On a v_A > v_B donc v_A² > v_B².

On en déduit la relation d’ordre entre les pressions exercées par le fluide aux points A et B.

P_A < P_B

Voici ci-dessous l’énoncé de l’effet Venturi qui correspond au résultat qui vient d’être trouvé.