Exploiter la relation de Bernoulli - Maxicours

Exploiter la relation de Bernoulli

Objectif

Exploiter la relation de Bernoulli, celle-ci étant fournie, pour étudier qualitativement puis quantitativement l’écoulement d’un fluide incompressible en régime permanent.

Points clés
  • Les liquides sont des fluides incompressibles car leur masse volumique est une constante pour une température fixée.
  • En régime permanent indépendant du temps (aussi appelé régime stationnaire), un fluide s’écoule de telle façon que la valeur v de sa vitesse en chaque point est indépendante du temps. Lorsqu’un fluide s’écoule, la trajectoire d’une particule de fluide est appelée une ligne de courant. Cette ligne de courant est orientée dans le sens du déplacement du fluide. Un tube de courant est composé par l’ensemble des lignes de courant.
  • La relation de Bernoulli, pour tous les points d’une même ligne de courant, relie la pression, la vitesse et la coordonnée verticale.
Pour bien comprendre
  • Pression, vitesse
  • Débit volumique
1. La relation de Bernoulli

En régime permanent indépendant du temps (aussi appelé régime stationnaire), un fluide s’écoule de telle façon que la valeur v de sa vitesse en chaque point est indépendante du temps.

Lors de l’écoulement d’un fluide, une particule de fluide qui se déplace suit une ligne de courant : il s’agit de la trajectoire de cette particule, orientée dans le sens de l’écoulement du fluide.

Un tube de courant est constitué par l’ensemble des lignes de courant des différentes particules de fluide.


Lignes et tube de courant

On considère un liquide qui s’écoule dans un tuyau. On repère un point d’une ligne de courant par sa coordonnée horizontale x et par sa coordonnée verticale  z.


Repérage d’un point d’une ligne de courant

En chaque point de la ligne de courant, on définit la pression P du fluide, la vitesse v d’écoulement, et la coordonnée verticale z.

On considère deux points A et B d’une même ligne de courant. La force pressante F est la seule force non conservative, la variation d’énergie mécanique d’un élément de fluide de masse m et de volume V entre les deux points s’écrit donc :

       

soit 

On admet que 

On obtient alors :

On divise tous les membres de cette relation par le volume V.

On fait apparaitre la masse volumique () et on obtient la relation pour deux points A et B d’une même ligne de courant.

On définit alors la relation de Bernoulli pour tous les points d’une même ligne de courant : elle relie la pression P, la coordonnée verticale z et la valeur de la vitesse v.
avec :
  • la vitesse d’écoulement du fluide, en m·s1
  • la coordonnée verticale, en m
  • la pression du fluide, en pascal (Pa)
  • ρ la masse volumique du fluide, en kg·m3
  • l’intensité de la pesanteur, en N·kg1
2. L'effet Venturi

On considère un fluide incompressible qui s’écoule dans un tuyau de section variable.

Le débit volumique se conserve le long du tuyau, c’est-à-dire qu’il est le même à travers toute section du tuyau.

Conservation du débit volumique
Rappel
Le débit volumique correspond au volume de liquide qui traverse une section du tuyau pendant une seconde.
On peut aussi l’exprimer en fonction de la surface S de la section et de la vitesse d’écoulement du fluide.
avec :
  • DV le débit volumique, en m3·s1
  • le volume de liquide qui traverse une section du tuyau, en m3
  • Δt la durée, en s
  • v la vitesse d’écoulement du fluide, en m·s1
  • S la surface de la section du tuyau, en m2

On considère un fluide qui s’écoule à l’horizontale dans un tuyau dont la section varie.

Le débit volumique est une constante, la vitesse d’écoulement augmente donc lorsque la surface de la section du tuyau diminue et inversement.

On étudie deux points A et B qui appartiennent à la même ligne de courant horizontale.


Ligne de courant horizontale

On en déduit que dans le cas qui nous intéresse : vA > vB (car SA < SB).

La relation de Bernoulli s’écrit de la manière suivante.

Les points A et B ont la même coordonnée verticale (zA = zB), cette relation peut donc se réécrire :

On a vA > vB donc vA2 > vB2.

On en déduit la relation d’ordre entre les pressions exercées par le fluide aux points A et B.

PA < PB

Voici ci-dessous l’énoncé de l’effet Venturi qui correspond au résultat qui vient d’être trouvé.

Lorsque la valeur de la vitesse est plus petite en un point B qu’en un point A d’une même ligne de courant horizontale, alors la pression en B est plus grande qu’en A.

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