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Exploiter l'équation d'un gaz parfait

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Objectifs
  • Relier qualitativement les valeurs des grandeurs macroscopiques mesurées aux propriétés du système à l’échelle microscopique.
  • Exploiter l’équation d’état du gaz parfait pour décrire le comportement d’un gaz.
  • Identifier quelques limites du modèle du gaz parfait.
Points clés
  • Un échantillon de gaz est défini par un certain nombre de grandeurs macroscopiques qui sont : sa quantité de matière n, sa pression P, son volume V et sa température absolue T.
  • Les grandeurs macroscopiques peuvent être reliées à des propriétés du gaz à l’échelle microscopique.
    • La température absolue est reliée à la vitesse des particules.
    • La quantité de matière est reliée au nombre de particules.
    • La pression est reliée au nombre de chocs des particules sur les parois par unité de surface et de temps.
  • Un gaz est parfait si ses particules constitutives peuvent être assimilées à des points matériels qui n’interagissent pas les unes sur les autres, sauf au cours des chocs.
  • Les grandeurs macroscopiques vérifient l’équation d’état du gaz parfait : P × V = n × R × T.
Pour bien comprendre
  • Pression, volume
  • Loi de Mariotte
1. Le modèle du gaz parfait
a. Le gaz parfait

L’état gazeux correspond à un état désordonné et dispersé : les particules constitutives sont très éloignées les unes des autres et se déplacent dans toutes les directions.

Le gaz parfait est un modèle de gaz dans lequel les particules constitutives, modélisées par des points matériels, n’exercent aucune interaction entre elles, mis à part lors des chocs.
b. Les grandeurs macroscopiques d'un gaz

À l’échelle macroscopique, un échantillon de gaz peut être décrit par cinq grandeurs, appelées aussi variables d’états.

  • La température absolue (ou thermodynamique) notée T, en kelvin (K).
  • La quantité de matière n, en mole (mol).
  • La pression P, en pascal (Pa).
  • Le volume V, en mètre cube (m3).
  • La masse m, en kilogramme (kg).
Remarque
La température thermodynamique T en kelvin (K) est reliée à la température t en degré Celsius (°C) par la relation : T = t + 273.

La masse et le volume permettent de définir la masse volumique du gaz, qui est égale à la masse par unité de volume.

avec :
  • ρ la masse volumique du gaz, en kg·m3
  • m la masse de gaz, en kg
  • V le volume de gaz, en m3
c. Lien entre les grandeurs macroscopiques et les grandeurs microscopiques d'un gaz

Certaines des grandeurs macroscopiques peuvent être reliées à des propriétés microscopiques du gaz.

Température

La température absolue est liée à la vitesse des particules : c’est une fonction croissante de la vitesse moyenne microscopique.

Pression

La pression est liée au nombre de chocs réalisés par les particules du gaz, par unité de surface et de temps, sur les parois du récipient qui le contient.

Quantité de matière

La quantité de matière est reliée au nombre de particules qui composent le gaz.

2. L'équation d'état du gaz parfait
a. L'équation d'état du gaz parfait

Pour un système gazeux isolé (c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’échange de matière avec l’extérieur), l’équation d’état du gaz parfait relie quatre des variables d’état du gaz.

P × V = n × R × T avec :
  • P la pression du gaz, en pascal (Pa)
  • V le volume de gaz, en m3
  • n la quantité de matière de l’espèce qui compose le gaz, en mol
  • R est la constante du gaz parfait :
    R = 8,31 J·K1·mol1
b. Loi de Mariotte et équation d'état du gaz parfait

Cette équation d’état du gaz parfait permet de retrouver la loi de Mariotte.

Rappel
La loi de Mariotte dit que pour une température et une quantité de matière constantes, le produit de la pression P d’un gaz par son volume V est constant : P × V = constante.

On considère un échantillon de gaz dont la quantité de matière n est constante (le système n’échange pas de matière avec l’extérieur) et dont la température T est constante.

Ce gaz est enfermé dans un récipient dont on peut faire varier le volume à l’aide d’un piston. À chaque volume V différent, on peut mesurer la pression P associée.

L’équation d’état du gaz parfait nous montre alors que :

P × V = n × R × T = constante

Il s’agit bien de la loi de Mariotte.

Exploitation de l’équation d’état du gaz parfait

L’équation d’état du gaz parfait permet de déterminer une des grandeurs associées au gaz si les autres sont connues.

  • Calcul de P : 
  • Calcul de V : 
  • Calcul de n : 
  • Calcul de T : 
Les limites du modèle du gaz parfait

Le modèle du gaz parfait possède des limites.

  • Les pressions très élevées.
  • Le volume propre des particules n’est plus négligeable.
  • Le système échange de la matière avec l’extérieur.

Dans ce cas, l’équation d’état du gaz parfait n’est plus applicable.

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