Exploiter la loi de décroissance radioactive
- Établir l’expression de l’évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs.
- Exploiter la loi et une courbe de décroissance radioactive.
- L’évolution temporelle d’une population de noyaux radioactifs est fournie par la loi de décroissance radioactive qui donne l’expression du nombre de noyaux radioactifs N(t) encore présents à un instant t.
- Ce nombre N(t) est une fonction exponentielle décroissante du temps, où intervient la constante radioactive λ qui est une probabilité de désintégration du noyau radioactif à chaque seconde.
- La demi-vie d’un noyau radioactif est égale à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents ont été désintégrés. On la détermine graphiquement à partir de la courbe de décroissance radioactive, ou par le calcul à partir de la constante radioactive.
- Fonction exponentielle, logarithme népérien
- Désintégration radioactive
Un échantillon de matière radioactive voit sa population de noyaux radioactifs diminuer au cours du temps, du fait de la désintégration radioactive.
On ne peut pas prédire quand un noyau va se désintégrer, car la radioactivité est un phénomène aléatoire, mais on peut calculer l’évolution temporelle d’un très grand nombre de noyaux radioactifs N(t) encore présents à un instant t.
Le nombre N(t) de noyaux radioactifs d’un échantillon diminue au cours du temps du fait de la désintégration radioactive. Pendant une durée Δt, la variation du nombre de noyaux ΔN(t) est à la fois proportionnelle à la durée et au nombre de noyaux encore présents N(t).
| ∆N(t) = –λ × N(t) × ∆t |
avec :
|
La constante radioactive λ est caractéristique du noyau radioactif et représente la probabilité de désintégration par unité de temps, d'un noyau radioactif.
| Noyau | Uranium 238 | Technétium 99 | Carbone 14 | Iode 131 |
| λ (en s–1) | 4,92 × 10–18 | 1,04 × 10–13 | 3,83 × 10–12 | 9,90 × 10–7 |
ΔN(t) est négatif car la population de noyaux diminue.
On établit l’équation vérifiée par N(t) :
∆N(t) = –λ × N(t) × ∆t 
= –λ × N(t)
On fait tendre Δt vers zéro afin d’en obtenir la limite, qui correspond à la dérivée de N(t) par rapport au temps t.
On obtient finalement l’équation suivante vérifiée par le nombre de noyaux radioactifs encore présents N(t).
C’est une équation différentielle
du premier ordre, car 
.
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, à ne pas confondre avec une équation algébrique dont l’inconnue est un nombre.
| Équation algébrique | Équation différentielle |
|
Trouver le nombre x qui vérifie l’équation : 3 × x + 2 = 0 Solution : La solution est le nombre qui vaut :
x = |
Trouver la fonction f (x) définie sur l’ensemble des réels qui vérifie l’équation : 3 × f (x) + 2 = 0 Solution : La solution est la fonction qui à tout réel x associe la valeur f (x) :
f
(x) =
Sa représentation graphique est la suivante. 
|
Une équation différentielle du premier ordre est une équation où intervient la dérivée première de la fonction.
| Équation différentielle du premier ordre | |
| Notation mathématique | Notation différentielle |
| a × f' (x) + b × f (x) = c |
|
La solution de l’équation 
nous donne
l’évolution temporelle de la population de
noyaux radioactifs : on l’appelle la loi
de décroissance radioactive.
| N(t) = N0 × e–λ × t |
avec :
|
La solution de cette équation différentielle est une fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle associe à tout réel x une valeur notée ex. Il s’agit d’une fonction croissante sur l’ensemble des réels, dont la représentation graphique est la suivante.
Une fonction exponentielle peut avoir pour expression eax, avec a qui est un nombre réel.
- Pour des valeurs de a positives,
plus a
est grand et plus la fonction possède un taux de
croissance important.
Les limites sont
et 
.
- Pour des valeurs de a négatives, la
fonction exponentielle eax est une fonction
décroissante.
Les limites sont
et 
.
| Fonction dérivée de la fonction exponentielle | |
| Notation mathématique | Notation différentielle |
| (eax)' = a × eax |
 (eax) = a × eax
|
La fonction exponentielle f (x) = eax
est solution de l’équation
différentielle 
.
En effet : 
.
La courbe de décroissance radioactive correspond à la représentation graphique de la loi de décroissance radioactive.
Allure d'une courbe de décroissance
radioactive et principe de la demi-vie
À chaque demi-vie écoulée, le nombre de noyaux radioactifs est divisé par deux.
On peut aussi déterminer la demi-vie t1/2 d’un noyau radioactif à partir de la loi de décroissance radioactive.
(car 
)
(car 
)
La formule qui relie la demi-vie t1/2 et la constante radioactive λ est la suivante.
|
avec :
|
| Noyau | Uranium 238 | Technétium 99 | Carbone 14 | Iode 131 |
| t1/2 | 4,47 × 109 an | 2,11 × 105 an | 5,74 × 103 an | 8,10 jour |
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