Exploiter la loi de décroissance radioactive - Maxicours

Exploiter la loi de décroissance radioactive

Objectifs
  • Établir l’expression de l’évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs.
  • Exploiter la loi et une courbe de décroissance radioactive.
Points clés
  • L’évolution temporelle d’une population de noyaux radioactifs est fournie par la loi de décroissance radioactive qui donne l’expression du nombre de noyaux radioactifs N(t) encore présents à un instant t.
  • Ce nombre N(t) est une fonction exponentielle décroissante du temps, où intervient la constante radioactive λ qui est une probabilité de désintégration du noyau radioactif à chaque seconde.
  • La demi-vie d’un noyau radioactif est égale à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents ont été désintégrés. On la détermine graphiquement à partir de la courbe de décroissance radioactive, ou par le calcul à partir de la constante radioactive.
Pour bien comprendre
  • Fonction exponentielle, logarithme népérien
  • Désintégration radioactive
1. L'évolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs

Un échantillon de matière radioactive voit sa population de noyaux radioactifs diminuer au cours du temps, du fait de la désintégration radioactive.

On ne peut pas prédire quand un noyau va se désintégrer, car la radioactivité est un phénomène aléatoire, mais on peut calculer l’évolution temporelle d’un très grand nombre de noyaux radioactifs N(t) encore présents à un instant t.

a. Équation vérifiée par N(t)
L’équation

Le nombre N(t) de noyaux radioactifs d’un échantillon diminue au cours du temps du fait de la désintégration radioactive. Pendant une durée Δt, la variation du nombre de noyaux ΔN(t) est à la fois proportionnelle à la durée et au nombre de noyaux encore présents N(t).

N(t) = –λ × N(t) × ∆t
avec :
  • N(t) la variation du nombre de noyaux radioactifs à un instant t : N(t) = N(t) – N0
  • λ la constante radioactive, en s1
  • N(t) le nombre de noyaux encore présents à un instant t
  • t est la durée, en s

La constante radioactive λ est caractéristique du noyau radioactif et représente la probabilité de désintégration par unité de temps, d'un noyau radioactif.

Exemples – Constante radioactive selon le noyau radioactif
Noyau Uranium 238 Technétium 99 Carbone 14 Iode 131
λ (en s1) 4,92 × 1018 1,04 × 1013 3,83 × 1012 9,90 × 107
Remarque
ΔN(t) est négatif car la population de noyaux diminue.

On établit l’équation vérifiée par N(t) :

N(t) = –λ × N(t) × ∆t  = –λ × N(t)

On fait tendre Δt vers zéro afin d’en obtenir la limite, qui correspond à la dérivée de N(t) par rapport au temps t.

On obtient finalement l’équation suivante vérifiée par le nombre de noyaux radioactifs encore présents N(t).

C’est une équation différentielle du premier ordre, car .

Point mathématique – équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, à ne pas confondre avec une équation algébrique dont l’inconnue est un nombre.

Équation algébrique Équation différentielle

Trouver le nombre x qui vérifie l’équation :

× x + 2 = 0

Solution :

La solution est le nombre qui vaut :

x =

Trouver la fonction f (x) définie sur l’ensemble des réels qui vérifie l’équation :

× (x) + 2 = 0

Solution :

La solution est la fonction qui à tout réel x associe la valeur (x) :

f (x) =

Sa représentation graphique est la suivante.

Une équation différentielle du premier ordre est une équation où intervient la dérivée première de la fonction.

Équation différentielle du premier ordre
Notation mathématique Notation différentielle
a × f' (x) + b × f (x) = c
b. La loi de décroissance radioactive
La loi

La solution de l’équation nous donne l’évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs : on l’appelle la loi de décroissance radioactive.

N(t) = N0 × e–λ × t avec :
  • N(t) le nombre de noyaux à un instant t
  • N0 le nombre initial de noyaux radioactifs
  • λ la constante radioactive, en s1
  • t la durée, en s

La solution de cette équation différentielle est une fonction exponentielle.

Point mathématique – Fonction exponentielle

Une fonction exponentielle associe à tout réel x une valeur notée ex. Il s’agit d’une fonction croissante sur l’ensemble des réels, dont la représentation graphique est la suivante.

Une fonction exponentielle peut avoir pour expression eax, avec a qui est un nombre réel.

  • Pour des valeurs de a positives, plus a est grand et plus la fonction possède un taux de croissance important.
    Les limites sont et .
  • Pour des valeurs de a négatives, la fonction exponentielle eax est une fonction décroissante.
    Les limites sont et .
Fonction dérivée de la fonction exponentielle
Notation mathématique Notation différentielle
(eax)' = a × eax (eax) = a × eax

La fonction exponentielle f (x) = eax est solution de l’équation différentielle .

En effet : .

2. Déterminer la demi-vie
La demi-vie t1/2 d’un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents ont disparu par désintégration radioactive.
a. Utiliser la courbe de décroissance radioactive

La courbe de décroissance radioactive correspond à la représentation graphique de la loi de décroissance radioactive.

On peut déterminer graphiquement le temps de demi-vie t1/2 grâce à cette courbe.

Allure d'une courbe de décroissance
radioactive et principe de la demi-vie
Remarque
À chaque demi-vie écoulée, le nombre de noyaux radioactifs est divisé par deux.
b. Utiliser la loi de décroissance radioactive

On peut aussi déterminer la demi-vie t1/2 d’un noyau radioactif à partir de la loi de décroissance radioactive.

(car )

(car )

La formule qui relie la demi-vie t1/2 et la constante radioactive λ est la suivante.

avec :
  • t1/2 le temps de demi-vie, en s
  • λ la constante radioactive, en s1
Exemples – Temps de demi-vie selon le noyau radioactif
Noyau Uranium 238 Technétium 99 Carbone 14 Iode 131
t1/2 4,47 × 109 an 2,11 × 105 an 5,74 × 103 an 8,10 jour

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent