Lycée > Terminale > Physique Chimie > Exploiter la loi de décroissance radioactive

Exploiter la loi de décroissance radioactive

Fiche de cours
Quiz
Profs en ligne
Videos
Application mobile

Objectifs

Établir l’expression de l’évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs.
Exploiter la loi et une courbe de décroissance radioactive.

Points clés

L’évolution temporelle d’une population de noyaux radioactifs est fournie par la loi de décroissance radioactive qui donne l’expression du nombre de noyaux radioactifs N(t) encore présents à un instant t.
Ce nombre N(t) est une fonction exponentielle décroissante du temps, où intervient la constante radioactive λ qui est une probabilité de désintégration du noyau radioactif à chaque seconde.
La demi-vie d’un noyau radioactif est égale à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents ont été désintégrés. On la détermine graphiquement à partir de la courbe de décroissance radioactive, ou par le calcul à partir de la constante radioactive.

Pour bien comprendre

Fonction exponentielle, logarithme népérien
Désintégration radioactive

1. L'évolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs

Un échantillon de matière radioactive voit sa population de noyaux radioactifs diminuer au cours du temps, du fait de la désintégration radioactive.

On ne peut pas prédire quand un noyau va se désintégrer, car la radioactivité est un phénomène aléatoire, mais on peut calculer l’évolution temporelle d’un très grand nombre de noyaux radioactifs N(t) encore présents à un instant t.

a. Équation vérifiée par N(t)

L’équation

Le nombre N(t) de noyaux radioactifs d’un échantillon diminue au cours du temps du fait de la désintégration radioactive. Pendant une durée Δt, la variation du nombre de noyaux ΔN(t) est à la fois proportionnelle à la durée et au nombre de noyaux encore présents N(t).

∆N(t) = –λ × N(t) × ∆t

avec :

∆N(t) la variation du nombre de noyaux radioactifs à un instant t : ∆N(t) = N(t) – N₀
λ la constante radioactive, en s^–¹
N(t) le nombre de noyaux encore présents à un instant t
t est la durée, en s

La constante radioactive λ est caractéristique du noyau radioactif et représente la probabilité de désintégration par unité de temps, d'un noyau radioactif.

Exemples – Constante radioactive selon le noyau radioactif

Noyau	Uranium 238	Technétium 99	Carbone 14	Iode 131
λ (en s^–¹)	4,92 × 10^–¹⁸	1,04 × 10^–¹³	3,83 × 10^–¹²	9,90 × 10^–⁷

Remarque
ΔN(t) est négatif car la population de noyaux diminue.

On établit l’équation vérifiée par N(t) :

∆N(t) = –λ × N(t) × ∆t = –λ × N(t)

On fait tendre Δt vers zéro afin d’en obtenir la limite, qui correspond à la dérivée de N(t) par rapport au temps t.

On obtient finalement l’équation suivante vérifiée par le nombre de noyaux radioactifs encore présents N(t).

C’est une équation différentielle du premier ordre, car .

Point mathématique – équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, à ne pas confondre avec une équation algébrique dont l’inconnue est un nombre.

Équation algébrique

Équation différentielle

Trouver le nombre x qui vérifie l’équation :

3 × x + 2 = 0

Solution :

La solution est le nombre qui vaut :

x =

Trouver la fonction f (x) définie sur l’ensemble des réels qui vérifie l’équation :

3 × f (x) + 2 = 0

Solution :

La solution est la fonction qui à tout réel x associe la valeur f (x) :

f (x) =

Sa représentation graphique est la suivante.

Une équation différentielle du premier ordre est une équation où intervient la dérivée première de la fonction.

Équation différentielle du premier ordre
Notation mathématique	Notation différentielle
a × f' (x) + b × f (x) = c

b. La loi de décroissance radioactive

La loi

La solution de l’équation nous donne l’évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs : on l’appelle la loi de décroissance radioactive.

N(t) = N₀ × e^–λ ×^t

avec :

N(t) le nombre de noyaux à un instant t
N₀ le nombre initial de noyaux radioactifs
λ la constante radioactive, en s^–¹
t la durée, en s

La solution de cette équation différentielle est une fonction exponentielle.

Point mathématique – Fonction exponentielle

Une fonction exponentielle associe à tout réel x une valeur notée e^x. Il s’agit d’une fonction croissante sur l’ensemble des réels, dont la représentation graphique est la suivante.

Une fonction exponentielle peut avoir pour expression e^ax, avec a qui est un nombre réel.

Pour des valeurs de a positives, plus a est grand et plus la fonction possède un taux de croissance important.
Les limites sont et .
Pour des valeurs de a négatives, la fonction exponentielle e^ax est une fonction décroissante.
Les limites sont et .

Fonction dérivée de la fonction exponentielle
Notation mathématique	Notation différentielle
(e^ax)' = a × e^ax	(e^ax) = a × e^ax

La fonction exponentielle f (x) = e^ax est solution de l’équation différentielle .

En effet : .

2. Déterminer la demi-vie

La demi-vie t_1/2 d’un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents ont disparu par désintégration radioactive.

a. Utiliser la courbe de décroissance radioactive

La courbe de décroissance radioactive correspond à la représentation graphique de la loi de décroissance radioactive.

On peut déterminer graphiquement le temps de demi-vie t_1/2 grâce à cette courbe.