Définition, vocabulaire et représentation des fonctions
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Objectifs
- Connaitre le vocabulaire de base des fonctions : variable, antécédent, image, ensemble de définition d'une fonction.
- Connaitre la notation f(x).
- Représenter graphiquement une fonction.
- Déterminer les images et les antécédents d'une fonction par le calcul et par lecture graphique.
Points clés
- Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre, un unique autre nombre appelé image. Si on appelle f cette fonction, l’image de x par f sera notée ou .
- L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres réels pour lesquels on peut calculer une unique image. On le note souvent ou .
- Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f(a) = b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
- La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.
- Pour obtenir l’image d’un nombre a par une fonction f, on lit graphiquement l’ordonnée du point de la courbe de f ayant pour abscisse a.
- Pour obtenir les antécédents d’un nombre b, on lit les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée b.
1. Notion de fonction
Une fonction est un procédé qui permet
d’associer à un nombre, un unique autre
nombre appelé image.
Si on appelle cette fonction, l’image de x par f sera notée ou .
Si on appelle cette fonction, l’image de x par f sera notée ou .
Exemples
est une fonction et est l'image de par la fonction .
est une fonction et est l'image de par la fonction
est une fonction et est l'image de par la fonction .
est une fonction et est l'image de par la fonction
Contre-exemple
La correspondance qui à tout nombre positif fait
correspondre les deux nombres dont il est le carré
n’est pas une fonction. En effet, il n’y a
pas unicité.
Par exemple, 4 est le carré de 2 et –2.
Concrètement, une fonction est un outil
mathématique qui permet de modéliser
la dépendance entre deux
grandeurs x et y. Cette modélisation
peut se définir sous la forme d'une formule (ou
expression algébrique) ou d'une
représentation graphique.
Exemples
On peut modéliser par une fonction :
On peut modéliser par une fonction :
- la distance parcourue par un véhicule (y) en fonction du temps de trajet (x) ;
- le prix des tomates (y) en fonction de la masse achetée (x).
Notations
Les écritures suivantes sont équivalentes :
Les écritures suivantes sont équivalentes :
a. Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction
f est
l'ensemble des nombres réels pour lesquels on
peut calculer une unique image. On le note
souvent ou .
Exemples
. Pour tout x réel, on peut calculer x², donc l’ensemble de définition est .
. La racine carrée d’un nombre existe si et seulement si x ≥ 0, donc l’ensemble de définition est .
On ne peut calculer l’image de x que si le dénominateur est non nul, c’est à dire si x ≠ –1. L’ensemble de définition est .
. Pour tout x réel, on peut calculer x², donc l’ensemble de définition est .
. La racine carrée d’un nombre existe si et seulement si x ≥ 0, donc l’ensemble de définition est .
On ne peut calculer l’image de x que si le dénominateur est non nul, c’est à dire si x ≠ –1. L’ensemble de définition est .
b. Images et antécédents
Soient f une
fonction définie sur un intervalle I et
a ∈ I.
Si f(a) = b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
Si f(a) = b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
Exemples
:
L’image de 1 par f vaut 1² = 1, soit f(1) = 1.
L’image de –1 par f vaut (–1)² = 1, soit f(–1) = 1.
Les antécédents de 1 sont toutes les valeurs a pour lesquelles f(a) = 1, c'est à dire 1 et –1.
:
L’image de 0 par f est 0 + 3 = 3, soit f(0) = 3. L’antécédent de 3 par f est 0.
:
L’image de 25 est , soit f(25) = 5. L’antécédent de 5 par f est 25.
:
L’image de 1 par f vaut 1² = 1, soit f(1) = 1.
L’image de –1 par f vaut (–1)² = 1, soit f(–1) = 1.
Les antécédents de 1 sont toutes les valeurs a pour lesquelles f(a) = 1, c'est à dire 1 et –1.
:
L’image de 0 par f est 0 + 3 = 3, soit f(0) = 3. L’antécédent de 3 par f est 0.
:
L’image de 25 est , soit f(25) = 5. L’antécédent de 5 par f est 25.
2. Utilisation de graphiques
a. Représentation graphique d'une fonction f
On se place dans un repère (O, I, J) donné.
La représentation graphique de f est
l’ensemble de tous les points de
coordonnées (x ; f(x)) en
faisant prendre à x toutes les valeurs de
l’ensemble de définition.
Remarque : on utilisera parfois le mot
courbe à la place de
représentation graphique.
Exemple : considérons la
représentation graphique d'une
fonction f sur [–3 ; 3].
Si M a pour abscisse x, alors son
ordonnée est f(x). A a pour coordonnées (2 ; 2), donc f(2) = 2 donc l’image de 2 par f est 2. B a pour coordonnées (–2 ; 2), donc f(–2) = 2 donc l’image de –2 par f est 2. Les antécédents de 2 par la fonction f sont –2 et 2. |
b. Utilisation d'une courbe pour obtenir une image
Pour obtenir l’image d’un nombre
a par une
fonction f, on lit graphiquement
l’ordonnée du point de la courbe
de f
ayant pour abscisse a.
Exemple 1
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Pour déterminer l’image de 1
par f, on doit
partir de l’abscisse 1, puis on lit
l’ordonnée du point de la courbe
correspondant. Par lecture graphique, on obtient 4. Donc l’image de 1 par f est 4. |
Exemple 2
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Pour déterminer l’image de 2
par f, on doit
partir de l’abscisse 2, puis on lit
l’ordonnée du point de la courbe
correspondant. Par lecture graphique, on obtient –3,5. Donc l’image de 2 par f est –3,5. |
c. Utilisation d'une courbe pour obtenir des
antécedents
Pour obtenir les antécédents d’un
nombre b, on lit
les abscisses des points de la courbe ayant pour
ordonnée b.
Exemple 1
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Pour déterminer les
antécédents de 3, on lit les
abscisses des points de la courbe
d’ordonnée 3. Par lecture graphique, –1 et 3 sont les antécédents de 3 par f. |
Exemple 2
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Voici la représentation graphique d’une fonction f :
Pour déterminer les
antécédents de 1
par f, on lit les abscisses des
points de la courbe
d’ordonnée 1. Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f. |
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